Taylorreihe für x0=2+x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{4}{1-3x}[/mm] soll an der Stelle [mm] x_0 = 2+x [/mm] in Potenzen von x entwickelt werden. Ermitteln Sie die ersten 4 Glieder. |
Ich stolpere bei dieser Aufgabe leider über den Entwicklungspunkt. Ich weiß zwar wie ich für [mm]x_0=0[/mm] die Taylorreihe entwickle, aber wie verfahre ich für ein [mm] x_0=a+x [/mm]?
Ich habe die Aufgabe schonmal gelöst und da habe ich bei der Entwicklung als Funktionswert immer das a genommen, in diesem Fall 2, also [mm]f(a), f'(a) , f''(a) ... [/mm]
Aber nach welcher Regel/welchem Gesetz darf ich das einfach so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 22.11.2014 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{4}{1-3x}[/mm] soll an der Stelle [mm]x_0 = 2+x[/mm]
> in Potenzen von x entwickelt werden. Ermitteln Sie die
> ersten 4 Glieder.
>
> Ich stolpere bei dieser Aufgabe leider über den
> Entwicklungspunkt. Ich weiß zwar wie ich für [mm]x_0=0[/mm] die
> Taylorreihe entwickle, aber wie verfahre ich für ein
> [mm]x_0=a+x [/mm]?
Genauso wie für [mm] $x_0=0$, [/mm] nur setzt Du eben [mm] $x_0=a+x$ [/mm] ;)
> Ich habe die Aufgabe schonmal gelöst und da
> habe ich bei der Entwicklung als Funktionswert immer das a
> genommen, in diesem Fall 2, also [mm]f(a), f'(a) , f''(a) ...[/mm]
>
> Aber nach welcher Regel/welchem Gesetz darf ich das einfach
> so?
Die Regel nennt man Taylor-Entwicklung
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Morph007 |
Aber warum habe ich denn als Funktionswert nur 2 eingesetzt und nicht 2+x?
Bei der vorherigen Lösung habe ich bis zur dritten Ableitung nach x abgeleitet und dann jeweils als Funktionswert 2 eingesetzt.
Danach habe ich die Reihe aufgestellt:
[mm] f(2+x)=f(2)+\bruch{f'(2)}{1!}x^1+\bruch{f''(2)}{2!}x^2+...[/mm]
Aber eigentlich ist doch mein Funktionswert 2+x und nicht einfach nur 2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Sa 22.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Morph007,
> Aber warum habe ich denn als Funktionswert nur 2 eingesetzt
> und nicht 2+x?
> Bei der vorherigen Lösung habe ich bis zur dritten
> Ableitung nach x abgeleitet und dann jeweils als
> Funktionswert 2 eingesetzt.
> Danach habe ich die Reihe aufgestellt:
>
> [mm]f(2+x)=f(2)+\bruch{f'(2)}{1!}x^1+\bruch{f''(2)}{2!}x^2+...[/mm]
>
>
> Aber eigentlich ist doch mein Funktionswert 2+x und nicht
> einfach nur 2.
Taylorreihe: $Tf(x;a) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ [/mm] mit Entwicklungspunkt a.
Wenn du den Entwicklungspunkt a = 2 nimmst, aber 2+x statt x nimmst,
du schreibst ja auch f(2+x), und das in die Taylorreihe einsetzt,
erhältst du deine Entwicklung.
>
Gruß
meili
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:06 So 23.11.2014 | | Autor: | Morph007 |
Wie meinst Du das jetzt? Ich steige durch Deinen Satz irgendwie nicht durch.
Ich soll a=2 setzen, aber bei der Potenz dann [mm] $(2+x-a)^n$ [/mm] ?
$ [mm] f(2+x)=f(2)+\bruch{f'(2)}{1!}(2+x-2)^1+\bruch{f''(2)}{2!}(2+x-2)^2+... [/mm] $
Meinst Du so?
Lösung ist gegeben mit:
$ [mm] f(2+x)=-\bruch{4}{5}+\bruch{12}{25}x^1-\bruch{36}{125}x^2+\bruch{108}{625}x^3 [/mm] $
Dann wäre das ja richtig, aber ist nicht durch die Aufgabenstellung mein a=2+x? Es heißt doch "Entwickeln Sie an der Stelle 2+x [...]"
Wäre nett wenn das mal jemand kurz aufklären könnte
Schaue ich bei diesen Blättern auf Blatt 3 oben http://tqd1.physik.uni-freiburg.de/Vorlesung/KlassischeMechanikSS02/Taylor/taylor11.pdf und nehme meine Stelle 2+x in der allgmeinen Form als [mm] $x_0 [/mm] + h$ so dass [mm] $x_0=2$ [/mm] und h=x ist, stimmt das ganze ja wieder.
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Hallo nochmals,
ich bin der festen Meinung, dass das Hauptproblem
(bzw. das einzige überhaupt vorliegende Problem)
bei dieser Aufgabe die verwirrende bzw. verkorkste
Art der Aufgabenstellung war.
Mich würde da nur noch interessieren, wie der
exakte Originaltext der Aufgabenstellung aussah,
und allenfalls, wer der Autor dieses Originaltextes war ...
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Morph007 |
Der Originaltext lautet wortwörtlich:
"Die Funktion [mm] $f(x)=\bruch{4}{1-3x}$ [/mm] soll an der Stelle $2+x$ in Potenzen von x entwickelt werden. Ermitteln Sie die ersten 4 Glieder."
Das $ [mm] x_0 [/mm] $, das ich Anfangs drin hatte, hat da natürlich nichts zu suchen. Die Aufgabenstellung stammt vom Aufgabenblatt meines Professors. Kann natürlich sein, dass er die Aufgabe auch nur irgendwo "geklaut" hat, aber ich habe sie in der oder einer ähnlichen Form nirgendwo in der Literatur (Papula) gefunden, deswegen habe ich mit der Aufgabe eben auch meine Probleme.
Kommt es denn dann mit dem Ansatz, den ich zuletzt gepostet hatte hin?
Also:
[mm] $f(x_0 +h)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}*(h)^k$ [/mm] mit [mm] $x_0 [/mm] = 2$ und $h=x$ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Der Originaltext lautet wortwörtlich:
> "Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{4}{1-3x}[/mm] soll an der Stelle [mm]2+x[/mm]
> in Potenzen von x entwickelt werden. Ermitteln Sie die
> ersten 4 Glieder."
> Das [mm]x_0 [/mm], das ich Anfangs drin hatte, hat da natürlich
> nichts zu suchen. Die Aufgabenstellung stammt vom
> Aufgabenblatt meines Professors. Kann natürlich sein, dass
> er die Aufgabe auch nur irgendwo "geklaut" hat, aber ich
> habe sie in der oder einer ähnlichen Form nirgendwo in der
> Literatur (Papula) gefunden, deswegen habe ich mit der
> Aufgabe eben auch meine Probleme.
> Kommt es denn dann mit dem Ansatz, den ich zuletzt
> gepostet hatte hin?
> Also:
> [mm]f(x_0 +h)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}*(h)^k[/mm]
> mit [mm]x_0 = 2[/mm] und [mm]h=x[/mm] ?
Ja, ich würde den verkorksten Aufgabentext, so interpretieren.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mo 24.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Sprich Professor auf die "ungewöhnliche Formulierung" an. Vielleicht verbessert er dann die Formulierung und Du hast zukünftigen Studenten etwas Gutes getan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Morph007 |
Das hatte ich bereits beim ersten und zweiten Versuch der Prüfung getan.
Leider hat er seine Aufgabenblätter aber von seinem Vorgänger übernommen, der diese auch mindestens 15 Jahre so benutzt hat.
Nichts desto trotz werde ich ihn auch dieses mal bei der Prüfung wieder drauf ansprechen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 24.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Dann lass es lieber.
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> Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{4}{1-3x}[/mm] soll an der Stelle [mm]x_0 = 2+x[/mm]
> in Potenzen von x entwickelt werden. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Ermitteln Sie die
> ersten 4 Glieder.
>
> Ich stolpere bei dieser Aufgabe leider über den
> Entwicklungspunkt. Ich weiß zwar wie ich für [mm]x_0=0[/mm] die
> Taylorreihe entwickle, aber wie verfahre ich für ein
> [mm]x_0=a+x [/mm]?
> Ich habe die Aufgabe schonmal gelöst und da
> habe ich bei der Entwicklung als Funktionswert immer das a
> genommen, in diesem Fall 2, also [mm]f(a), f'(a) , f''(a) ...[/mm]
>
> Aber nach welcher Regel/welchem Gesetz darf ich das einfach
> so?
Wenn du bei dieser Aufgabe über den Entwicklungspunkt stolperst:
Ich stolpere schon über die Aufgabenstellung selber, die
nach meiner Auffassung ziemlich verkorkst und deswegen
unbrauchbar ist !
Richtig formuliert sollte die Aufgabe z.B. etwa so lauten:
Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{4}{1-3x}[/mm] soll an der Stelle [mm]x_0 = 2[/mm]
in Potenzen der Größe $\ h:=\ x-2$ entwickelt werden.
Dies bedeutet mit anderen Worten, dass man die Taylorreihe
(bzw. deren Anfangsglieder) für die Funktion f an der Stelle
[mm] x_0 [/mm] = 2 ermitteln soll.
Dies kann man nun in der gewohnten Weise mittels der
Ableitungen von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 2 tun. Ich sähe da
aber noch eine andere, eher einfachere Möglichkeit:
[mm] $\frac{4}{1-3x}\ [/mm] =\ [mm] \frac{4}{1-3*(2+h)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{4}{-5-3h}$
[/mm]
$\ =\ [mm] -\,\frac{4}{5}\,*\,\frac{1}{1+\underbrace{\frac{3}{5}\,h}_s}$
[/mm]
$\ =\ [mm] -\,\frac{4}{5}\,*\,(\,1-s+s^2-s^3+\,......\,)$ [/mm]
Nun kann man für das s den Term [mm] $\frac{3}{5}\,h$ [/mm] einsetzen und
gelangt so zur gewünschten Reihe. Man hat auch sofort
eine Auskunft über das Konvergenzverhalten der Taylor-
reihe, da die verwendete geometrische Reihe genau für die
s mit |s|<1 , hier also $\ [mm] \left|\frac{3}{5}\,h\right|\ [/mm] <\ 1$ bzw. $\ [mm] \left|x-2 \right|\ [/mm] <\ [mm] \frac{5}{3}$ [/mm]
konvergiert.
LG , Al-Chwarizmi
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