Taylorreihe artan(x)' < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:14 So 22.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll artan(x)' ,also [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] in eine Taylorreihe um xo=1 entwickeln und später auch artan(x).
Aber wie mache ich das genau,Taylorreihen hab ich nie so wirklich verstanden.Könnt ihr mir vielleicht das erklären
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Prinzipiell musst du so vorgehen:
Für die Taylorreihe musst du immer [mm] f(x_0), f'(x_0), f''(x_0), [/mm] ... berechnen. Meistens erkennst du da auch ein Muster, was du versuchen kannst per Induktion zu beweisen.
Dann musst du die Ergebnisse nur in [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}*(x-x_0)^i [/mm] einsetzen und du hast deine Taylorreihe.
Hier erhältst du z.B.
[mm] \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, [/mm] 0
[mm] -\frac{1}{8}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, [/mm] 0
[mm] \frac{1}{32}, -\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, [/mm] 0
...
für
[mm] \frac{f(x_0)}{0!}, \frac{f'(x_0)}{1!}, \frac{f''(x_0)}{2!}, \frac{f'''(x_0)}{3!}
[/mm]
[mm] \frac{f^{(4)}(x_0)}{4!}, [/mm] ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 So 22.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Wenn ich mir die Ableitungen jetzt ansehe komm ich aber auf f(1)=1/2,f'(1)=-1/2 f''(1)=1/2 ,f'''(1)=0 ,f''''(1)=3
Ich erkenne dabei leider keine Allgemeine Form?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Ups, ich habe auch was vergessen. Ich habe nicht die Ableitungen da berechnet, sondern direkt Ableitung geteilt durch die Fakultäten. Ich berichtige das mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 22.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Keiner da ,der mir auf die sprünge helfen kann??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 22.05.2011 | | Autor: | chrisno |
Die Lösung findest Du ja leicht bei Wikipedia. Wo es bei Dir hakt, ist erst zu erkennen, wenn Du alles in Ruhe vorrechnest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 22.05.2011 | | Autor: | racy90 |
naja mir fehlt meistens das n-glied
ich habs mal versucht aufzuschreiben
[mm] \bruch{1}{2}-\bruch{x-1}{2}+\bruch{(x-1)^2}{4}-\bruch{(x-1)^4}{8}+\bruch{(x-1)^5}{8}....+...+ [/mm] das n-glied und das weiß ich nicht wie ich das formulieren soll.Ich seh nur anhand der ableitungen das ,das vorzeichen wechselt außer bei f'''(1)=0 aber mehr kann ich schon nicht sagen ,leider
|
|
|
| |
|
Hallo racy90,
> naja mir fehlt meistens das n-glied
> ich habs mal versucht aufzuschreiben
>
> [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{x-1}{2}+\bruch{(x-1)^2}{4}-\bruch{(x-1)^4}{8}+\bruch{(x-1)^5}{8}....+...+[/mm]
> das n-glied und das weiß ich nicht wie ich das formulieren
> soll.Ich seh nur anhand der ableitungen das ,das vorzeichen
> wechselt außer bei f'''(1)=0 aber mehr kann ich schon
> nicht sagen ,leider
Bilde doch noch die nächsten 3 Glieder.
Dann erkennst Du vielleicht ein Muster.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
