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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | geg:
[mm] f:\IR\backslash\{0\}\to\IR [/mm]
[mm] x\mapsto\bruch{\exp(x)}{1-x} [/mm]
[mm] T_{f,0}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k} [/mm]
die Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt 0
i) Geben sie [mm] a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} [/mm] an.
ii) Was können sie über den Konvergenzradius sagen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab jetzt dann angefangen [mm] a_{0} [/mm] usw zu berchnen:
[mm] a_{0}=\bruch{\exp(0)}{0!}*x^{0}=1
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{\exp(0)}{1!}*x=x
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{\exp(0)}{2!}*x^{2}=\bruch{x^{2}}{2} [/mm] usw.
erstmal die erste Frage, ist das so richtig?
und wie kann ich jetzt davon auf den Konvergenzradius schließen?
Danke für Hilfe. Benny
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Hallo Benny,
> geg:
> [mm] $f:\IR\setminus\{0}\to\IR$ [/mm]
> [mm] $x\mapsto\bruch{exp(x)}{1-x}$ [/mm]
> [mm] $T_{f,0}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k}$ [/mm]
> die Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt 0
>
> i) Geben sie [mm]a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}[/mm] an.
> ii) Was können sie über den Konvergenzradius sagen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hab jetzt dann angefangen [mm]a_{0}[/mm] usw zu berchnen:
> [mm]a_{0}=\bruch{exp(0)}{0!}*x^{0}=1[/mm]
> [mm]a_{1}=\bruch{exp(0)}{1!}*x=x[/mm]
> [mm]a_{2}=\bruch{exp(0)}{2!}*x^{2}=\bruch{x^{2}}{2}[/mm] usw.
> erstmal die erste Frage, ist das so richtig?
Nein, du musst, um [mm] $a_k$ [/mm] zu bestimmen, die $k-te$ Ableitung von [mm] $\frac{e^x}{1-x}$ [/mm] an der Stelle 0 auswerten und durch $k!$ teilen ...
Mit [mm] $f(x)=\frac{e^x}{1-x}$ [/mm] ist [mm] $T_{f,0}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\underbrace{\frac{f^{(k)}(0)}{k!}}_{=a_k\in\IR!!}\cdot{}x^k$
[/mm]
Alternativ kannst du mal einen Ansatz über das Cauchy-Produkt versuchen.
Du kennst die Reihendarstellung der e-Funktion: [mm] $e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k$
[/mm]
Außerdem kennst du die geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}$ [/mm] für $|x|<1$
(Damit hättest du auch einen Wink bzgl. des Konvegenzradius')
> und wie kann ich jetzt davon auf den Konvergenzradius
> schließen?
>
> Danke für Hilfe. Benny
Gruß
schachuzipus
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