Taylorreihe -log(1-x/2) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 04.05.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Entwickle die Taylorreihe von [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , f(x)=-log(1-x/2) im Punkt [mm] x_0=0
[/mm]
Zeige durch die Abschätzung des Rests das die Reihe für x [mm] \in [/mm] (-2,2) gegen f konvergiert. |
Hallo liebe Gemeinde!
Habe raus!
mit Indunktion
[mm] f^n(x)=(-1)^n \frac{(n-1)!}{(x-2)^n} [/mm] (n-te Ableitung von f)
somit [mm] T[f,0]=\summe_{k=1}^{\infty}(x^k/(k*2^k)) [/mm] (Taylorreihe)
und |R[n+1](x)|=|1/(n+1) * [mm] 1(\beta-2)^{n+1} [/mm] * x^(n+1)| (Lagrange Form)
ausführliche Rechnung hier: ![[]](/images/popup.gif) Rechnung
jetzt habe ich Probleme den Rest mit [mm] n->\infty [/mm] gegen 0 abzuschätzen, denn wenn das [mm] \beta [/mm] beispielsweise 1 ist geht der Rest nicht mehr gegen 0...
Nachdem der Konvergenzradius aber 2 ist muss der Rest doch irgendwie auch für mit x [mm] \in [/mm] (1,2) so abzuschätzen sein dass er gegen 0 geht!?
Habe es auch schon mit der Integralform des Rests probiert...
dann kriege ich
[mm] |R[n+1](x)|=|\frac{x^2}{2*(x-2)^{n+1}}|
[/mm]
selbes Problem mit x [mm] \in [/mm] (1,2)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 04.05.2013 | | Autor: | elmanuel |
gibts vielleicht neben lagrange form und integralform noch eine weitere möglichkeit den test darzustellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Sa 04.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum geht es bei [mm] \beta=1 [/mm] nicht gegen 0. man hat doch dann einfach 1/(n+1)?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 05.05.2013 | | Autor: | elmanuel |
> Hallo
> warum geht es bei [mm]\beta=1[/mm] nicht gegen 0. man hat doch dann
> einfach 1/(n+1)?
> gruss leduart
naja sagen wir wir haben [mm] x\in [/mm] [1,2) und [mm] x_0=0 [/mm] dann muss [mm] \beta [/mm] zwischen 0 und x liegen.
nehmen wir an x=1.5
ich würde sagen man hat dann mit [mm] \beta=1
[/mm]
(1.5)^(n+1)/(n+1) und das geht wohl nicht gegen 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Mo 06.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
statt das restgleid abzuschaetzen, wo du beta nicht kennst, nimm einfach die reihe von n+1 bis [mm] \infty. [/mm] da du ja den Konvegenzradius hast kannst du das leicht.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 06.05.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke leduart!
ja so gehts auch.. ich hab jetzt aber doch geschafft die integralform des restglieds abzuschätzen... hatte mich nur verrechnet :)
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![[]](https://www.dropbox.com/s/39ywg9kmmfsvtdy/20.3.jpg){kind=small}
Rechnung