Taylorreihe - Approximation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 24.02.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich werde aus einer bestimmten Aussage nicht schlau. Vlt. kann mir ja hier jemand weiterhelfen:
Es sei D eine konvexe perfekte Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und [mm] f\in C^{\infty}(D). [/mm] Der Konvergenzradius r der Taylorreihe
T(f,a) = [mm] \summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} (X-a)^{k}
[/mm]
ist bekanntlich definiert als Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm] \summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} X^{k}
[/mm]
Somit ist T(f,a) auf dem Ball B(a,r) konvergent. Nun zu meiner Frage:
Es ist klar, dass wenn T(f,a) wohldefiniert ist, man für jede [mm] n\in \IN [/mm] ein Taylorpolynom [mm] T_{n}(f,a) [/mm] findet, dass f in a von höherer als n-ter Ordnung approximiert. Nun steht in meinem Lehrbuch:
"Ist D offen und der Konvergenzradius der Taylorreihe positiv, dann wird f durch [mm] T_{n}(f,a) [/mm] in einer Umgebung von a bon höherer als n-ter Ordnung approximiert".
Warum denn in einer Umgebung? Ist damit wirklich gemeint, dass [mm] T_{n}(f,a) [/mm] f nicht nur in a sondern gleich in einer Umgebung von a von höherer Ordnung approximiert?! Wie ist das zu erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dir scheint nicht klar zu sein, dass [mm] T_n(a)=f(a) [/mm] ist für jedes n denn da steht ja f(a)+Glieder mit [mm] (x-a)^k [/mm] die alle 0 sind bei a.
die Idee ist doch aus Kenntnis von f(a) und deren Ableitungen an der Stelle a die fkt in einer Umgebung von a) anzunähern! und der Fehler ist eben (sieh Restglied) höchstens (n+1) ter Ordnung wenn die Taylorreihe in der Umgebung konvergiert.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 24.02.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo leduart
> dir scheint nicht klar zu sein, dass [mm]T_n(a)=f(a)[/mm] ist für
> jedes n
Doch, das ist mir eigentlich schon klar.
> die Idee ist doch aus Kenntnis von f(a) und deren
> Ableitungen an der Stelle a die fkt in einer Umgebung von
> a) anzunähern! und der Fehler ist eben (sieh Restglied)
> höchstens (n+1) ter Ordnung wenn die Taylorreihe in der
> Umgebung konvergiert.
> Gruss leduart
Ich verstehe nicht, was das mit der Konvergenz der Taylorreihe zu tun hat. Wenn die Taylorreihe ja wohldefiniert ist, ist ja bereits die Existenz von [mm] T_n(a) [/mm] mit beliebigem n sicher.
Ich denke, der Autor meint wirklich, dass mit der Konvergenz [mm] T_n(a) [/mm] f nicht nur in a sondern sogar in einer Umgebung von a approximiert. Er schreibt dann noch:
"Diese Approximation auf einer Umgebung von a bedeutet aber nicht, dass f durch seine Taylorreihe in einer Umgebung von a dargestellt wird. Dies wäre nur dann der Fall, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} R_n(f,a)(x)=0 [/mm] für alle Elemente x dieser Umgebung gilt."
Das ist natürlich klar.
Wenn [mm] T_n(a) [/mm] f nur in a approximieren sollte, warum dann die Formulierung [mm] "T_n(a) [/mm] approximiert f in einer Umgebung von a von höherer als n-ter Ordnung"? Man kann ja einfach sagen: [mm] "T_n(a) [/mm] approximiert f in a von höherer als n-ter Ordnung".
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetz versteh ich deine Frage nicht mehr:
> Hallo leduart
> Ich verstehe nicht, was das mit der Konvergenz der
> Taylorreihe zu tun hat. Wenn die Taylorreihe ja
> wohldefiniert ist, ist ja bereits die Existenz von [mm]T_n(a)[/mm]
> mit beliebigem n sicher.
[mm] T_n(a) [/mm] ist völlig uninteressant, da es eben einfach f(a) ist, egal ob [mm] T_n [/mm] konvergiert oder nicht.
>
> Ich denke, der Autor meint wirklich, dass mit der
> Konvergenz [mm]T_n(a)[/mm] f nicht nur in a sondern sogar in einer
> Umgebung von a approximiert. Er schreibt dann noch:
natürlich meint er das, denn in a wird ja nicht approximiert, und in a über konvergenz zu sprechen ist sinnlos.
> "Diese Approximation auf einer Umgebung von a bedeutet aber
> nicht, dass f durch seine Taylorreihe in einer Umgebung
> von a dargestellt wird. Dies wäre nur dann der Fall, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} R_n(f,a)(x)=0[/mm] für alle
> Elemente x dieser Umgebung gilt."
>
> Das ist natürlich klar.
>
> Wenn [mm]T_n(a)[/mm] f nur in a approximieren sollte, warum dann die
> Formulierung <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] t_n(a)$="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] t_n(a)=""> [/mm] approximiert f in einer Umgebung von a
> von höherer als n-ter Ordnung"? Man kann ja einfach sagen:
> <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] t_n(a)$="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] t_n(a)=""> [/mm] approximiert f in a von höherer als n-ter
> Ordnung".
nochmal a ist uninterresant, weil da nicht approximiert wird!
nur die Approximation in einer Umgebung von a ist interessant.
nimm sin(x): Wert und alle Ableitungen bei x=0 sind bekannt und stimmen mit denen jedes Taylorpolynoms überein.
Wenn du jetzt aber x=0.1 einsetzt, willst du wissen mit welcher Genauigkeit du sin(0,1) bestimmen kannst, wenn du [mm] T_5 [/mm] nimmst und die Genauigkeit ist eben von der Ordnung [mm] 0.1^6 [/mm] d.h. du kannst sin(0.05) [mm] 12^6 [/mm] mal so genau bestimmen wie sin(0.1)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Fr 25.02.2011 | | Autor: | phychem |
> Hallo
> jetz versteh ich deine Frage nicht mehr:
>
>
> > Hallo leduart
>
> > Ich verstehe nicht, was das mit der Konvergenz der
> > Taylorreihe zu tun hat. Wenn die Taylorreihe ja
> > wohldefiniert ist, ist ja bereits die Existenz von [mm]T_n(a)[/mm]
> > mit beliebigem n sicher.
> [mm]T_n(a)[/mm] ist völlig uninteressant, da es eben einfach f(a)
> ist, egal ob [mm]T_n[/mm] konvergiert oder nicht.
Mit [mm]T_n(a)[/mm] hab ich nicht den Funktionswert in a sondern das Taylorpolynom [mm]T_n(f,a)[/mm] gemeint.
Die Definition der Approximierbarkeit lautet:
Die Funktion g: D [mm] \to [/mm] V approximiert die Abbildung f: D [mm] \to [/mm] V in [mm] a\in [/mm] D von höher als n-ter Ordnung, wenn gilt:
f(x) = g(x) + [mm] o(\parallel [/mm] x-a [mm] \parallel^n)
[/mm]
Das heisst:
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)-g(x)}{\parallel x-a \parallel^n} [/mm] = 0
(die Approximation setzt unter anderem also voraus, dass a ein Häufungspunkt von D ist)
Man sagt dann "g approximiert f in a". Was soll also dieser Zusatz "in einer Umgebung". Es muss einfach der obige Grenzwert wohldefiniert und gleich Null sein.
Das Taylorpolynom [mm]T_n(f,a)[/mm] approximiert gemäss der Taylorschen Formel die Abbildung f in a von höherer Ordnung als n.
Was aber hat die Konvergenz der Taylorreihe hier für eine Bedeutung?!??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Fr 25.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was genau verstehst du unter [mm] T_n(f,a) [/mm] Das TP entwickelt um eine beliebige Stelle [mm] x_0 [/mm] an der Stelle [mm] a\nex_0 [/mm] ausgewertet?
Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis [mm] \infty [/mm] summiert unendlich gibt?
Irgendwie versteh ich deine Frage wohl nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Sa 26.02.2011 | | Autor: | phychem |
> Hallo
> Was genau verstehst du unter [mm]T_n(f,a)[/mm] Das TP entwickelt um
> eine beliebige Stelle [mm]x_0[/mm] an der Stelle [mm]a\nex_0[/mm]
> ausgewertet?
Unter [mm]T_n(f,a)[/mm] versteh ich das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt a. Also folgendes Polynom
[mm]T_n(f,a)[/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} [/mm] (X-a)
Diese lässt sich natürlich mit folgender Polynomfunktion identifizieren:
[mm]T_n(f,a)[/mm]: D [mm] \to [/mm] V , x [mm] \mapsto[/mm] [mm]T_n(f,a)(x)[/mm]
> Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer
> umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder
> Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis
> [mm]\infty[/mm] summiert unendlich gibt?
Davon gehe ich nicht aus...
> Irgendwie versteh ich deine Frage wohl nicht.
Vermutlich lag einfach ein Missverständnis bzgl. den Bezeichnungen vor.
Ich versuch die Frage noch mal anders zu formulieren:
Stimm es, dass:
Wenn die Taylorreihe
[mm]T(f,a)[/mm] = [mm] \summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} [/mm] (X-a)
einen positiven Konvergenzradius r hat und D offen ist, man für jedes natürliche n eine Umgebung U von a findet, in der das Taylorpolynom
[mm]T_n(f,a)[/mm] die Abbildung f "in allen Punkte approximiert"?
Mit letzterem mein ich, dass etwa für [mm] b\in [/mm] U
[mm] \limes_{x\rightarrow b} \bruch{f(x)-Tn(f,a)(x)}{|x-b|^n} [/mm] = 0
gilt, also f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm] o(|x-a|^n) [/mm] ist.
So würde die gefundenen Aussage nämlich Sinn machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 26.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer
> > umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder
> > Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis
> > [mm]\infty[/mm] summiert unendlich gibt?
>
> Davon gehe ich nicht aus...
Was bedeutet denn dann [mm] T_n [/mm] konvergiert nicht?
>
>
> Ich versuch die Frage noch mal anders zu formulieren:
>
> Stimm es, dass:
> Wenn die Taylorreihe
>
>
> [mm]T(f,a)[/mm] = [mm]\summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!}[/mm] (X-a)
>
> einen positiven Konvergenzradius r hat und D offen ist, man
> für jedes natürliche n eine Umgebung U von a findet, in
> der das Taylorpolynom
> [mm]T_n(f,a)[/mm] die Abbildung f "in allen Punkte approximiert"?
> Mit letzterem mein ich, dass etwa für [mm]b\in[/mm] U
> [mm]\limes_{x\rightarrow b} \bruch{f(x)-Tn(f,a)(x)}{|x-b|^n}[/mm] =
> 0
> gilt, also f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-a|^n)[/mm] ist.
>
>
> So würde die gefundenen Aussage nämlich Sinn machen.
Wenn du da ncht [mm] $b\in$ [/mm] U geschrieben hättest, es aber dann für [mm] x\in [/mm] U verwendet hättest ist das richtig.
also für alle [mm] x\in [/mm] U gilt f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm] $o(|x-a|^n)$
[/mm]
oder für alle [mm] b\in [/mm] U gilt
f(b) = Tn(f,a)(b) + [mm] $o(|b-a|^n)$
[/mm]
ja, genau das.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 26.02.2011 | | Autor: | phychem |
> Hallo
>
>
> > > Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer
> > > umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder
> > > Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis
> > > [mm]\infty[/mm] summiert unendlich gibt?
> >
> > Davon gehe ich nicht aus...
> Was bedeutet denn dann [mm]T_n[/mm] konvergiert nicht?
[mm]T_n[/mm], also [mm]T_n[/mm](f,a) ist ein Taylorpolynom n-ten GRades. Warum sollte man dieses nach Konvergenz untersuchen? [mm]T[/mm](f,a) ist die Teilerreihe, die je nachdem, ob das Argument x innerhalb oder ausserhallb des Konvergenzkreises (oder auf dem Rand) liegt, konvergiert....
>
> >
> > Ich versuch die Frage noch mal anders zu formulieren:
> >
> > Stimm es, dass:
> > Wenn die Taylorreihe
> >
> >
> > [mm]T(f,a)[/mm] = [mm]\summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!}[/mm] (X-a)
> >
> > einen positiven Konvergenzradius r hat und D offen ist, man
> > für jedes natürliche n eine Umgebung U von a findet, in
> > der das Taylorpolynom
> > [mm]T_n(f,a)[/mm] die Abbildung f "in allen Punkte approximiert"?
> > Mit letzterem mein ich, dass etwa für [mm]b\in[/mm] U
> > [mm]\limes_{x\rightarrow b} \bruch{f(x)-Tn(f,a)(x)}{|x-b|^n}[/mm] =
> > 0
> > gilt, also f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-a|^n)[/mm] ist.
> >
> >
> > So würde die gefundenen Aussage nämlich Sinn machen.
> Wenn du da ncht [mm]b\in[/mm] U geschrieben hättest, es aber dann
> für [mm]x\in[/mm] U verwendet hättest ist das richtig.
> also für alle [mm]x\in[/mm] U gilt f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-a|^n)[/mm]
> oder für alle [mm]b\in[/mm] U gilt
> f(b) = Tn(f,a)(b) + [mm]o(|b-a|^n)[/mm]
> ja, genau das.
Dass dies so richtig ist, ist mir klar. Meine Frage war aber bewusst anders gestellt.
edit:
ups, ich wollte natürlich
f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-b|^n)[/mm]
schreiben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 So 27.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Taxlorreihe für [mm] e^x [/mm] um 0 konvergiert auf ganz R
also nimm ein b aus R etwa b=1.01, dann x=1 glaubst du wirklich dass [mm] e^{1}= Tn(e^x,0)(1) [/mm] + $ [mm] o(0.01^n) [/mm] $ ist
Dann rechne mal [mm] e^1 [/mm] aus T:1 aus, das ist [mm] T1(e^x,0)(1)=2 [/mm] auf [mm] 0,01^2 [/mm] genau? wenn du b>=1.00001 wählst genauer?
Ein TP nähert f(x) umso besser an, je näher man an der Entwicklungsstelle ist!
Kannst du mal genauer ausdrücken, was du von einem TP erwartest und es jeweils an nem einfachen wie dem für [mm] e^y [/mm] oder sin(x) ausprobieren?
Gruss leduart
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