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Gleich noch eine Frage:
Ich habe die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{x-y}{x+y}[/mm] und soll die Taylorreihe der Ordnung 2 an [mm](1,1)[/mm] darstellen. Das wäre dann:
[mm]T_2(f(1,1))(x,y)=f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)+f_{xx}(1,1)(x-1)+f_{xy}(1,1)(x-1)(y-1)+f_{yx}(1,1)(x-1)(y-1)+f_{yy}(1,1)(y-1)[/mm]
Oder?
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Hallo wurzelquadrat!
> Gleich noch eine Frage:
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> Ich habe die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{x-y}{x+y}[/mm] und soll die
> Taylorreihe der Ordnung 2 an [mm](1,1)[/mm] darstellen. Das wäre
> dann:
>
> [mm]T_2(f(1,1))(x,y)=f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)+f_{xx}(1,1)(x-1)+f_{xy}(1,1)(x-1)(y-1)+f_{yx}(1,1)(x-1)(y-1)+f_{yy}(1,1)(y-1)[/mm]
>
> Oder?
Sieh doch mal hier - da habe ich die gleiche Aufgabe auch mal bearbeitet. Aber wie kommst du denn auf (x-1) und so? Ist das ne andere Schreibweise? Bei mir stand da immer [mm] \xi_1 [/mm] oder [mm] \xi_2 [/mm] oder so...
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christane!
Du hattest ja so angesetzt:
$f((1,1) + [mm] (\xi_1,\xi_2)) [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
Hier wird so angesetzt:
$f((x,y)) = [mm] \ldots$.
[/mm]
Beachtet man aber:
$f((x,y)) = f((1,1) + [(x,y)-(1,1)])$,
so kommt man auf das Gleiche, wobei für die Inkremente gilt:
[mm] $(\xi_1,\xi_2) [/mm] ) = (x-1,y-1)$.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Du hattest ja so angesetzt:
>
> [mm]f((1,1) + (\xi_1,\xi_2)) = \ldots[/mm].
>
> Hier wird so angesetzt:
>
> [mm]f((x,y)) = \ldots[/mm].
>
> Beachtet man aber:
>
> [mm]f((x,y)) = f((1,1) + [(x,y)-(1,1)])[/mm],
>
> so kommt man auf das Gleiche, wobei für die Inkremente
> gilt:
>
> [mm](\xi_1,\xi_2) ) = (x-1,y-1)[/mm].
Ach so - danke für die Info. 
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Sieh doch mal hier -
> da habe ich die gleiche Aufgabe auch mal bearbeitet. Aber
> wie kommst du denn auf (x-1) und so? Ist das ne andere
> Schreibweise? Bei mir stand da immer [mm]\xi_1[/mm] oder [mm]\xi_2[/mm] oder
> so...
Das ist eben auch die Frage, wie sich das vom Taylorpolynom unterscheidet und ob ich beide gemischten Ableitungen [mm]f_{xy} & f_{yx}[/mm] nehmen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zwie Terme sind bei dir falsch, und zwar die nicht-gemischten partiellen zweiten Ableitungen.
Hier müssen die Terme korrekt
[mm] $\frac{f_{xx}(1,1)}{2} \cdot (x-1)^2$
[/mm]
und
[mm] $\frac{f_{yy}(1,1)}{2} \cdot (y-1)^2$
[/mm]
heißen.
Der Rest stimmt!
Liebe Grüße
Julius
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> Hallo!
>
> Zwie Terme sind bei dir falsch, und zwar die
> nicht-gemischten partiellen zweiten Ableitungen.
>
> Hier müssen die Terme korrekt
>
> [mm]\frac{f_{xx}(1,1)}{2} \cdot (x-1)^2[/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{f_{yy}(1,1)}{2} \cdot (y-1)^2[/mm]
>
> heißen.
>
> Der Rest stimmt!
Stimmt, das hatte ich übersehen. Noch eine letzte Frage:
Wenn sich beide gemischten Ableitungen gleichen, muss ich nur eine nehmen. Wenn sie sich unterscheiden, beide. Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ist die Funktion zweimal stetig partiell differenzierbar, dann stimmen die beiden gemischten Abbildungen [mm] $f_{xy}$ [/mm] und [mm] $f_{yx}$ [/mm] automatisch überein (![[]](/images/popup.gif) Lemma von H.A. Schwarz).
Liebe Grüße
Julius
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