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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Bestimme die Taylorreihe von [mm] \frac{x^2}{x-3} [/mm] bei [mm] x_0=0 [/mm] |
f(x)= [mm] \frac{x^2}{x-3}
[/mm]
f'(x)= [mm] \frac{2x*(x-3)-x^2}{(x-3)^2}
[/mm]
f''(x) = [mm] \frac{(2x-6)*(x-3) - (2x^2-6-x^2)*2}{(x-3)^3}
[/mm]
Wie erkennt man da für die [mm] f^{(k)} [/mm] Ableitung ein Muster für den Zähler?
Hab mir einige Ableitungen von einen programm ausrechnen lassen, erkenne aber trotzdem keine Regelmäßigkeit,kann das vorkommen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lu-!
Setze doch mal jeweils den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ein.
Gruß
Loddar
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> Bestimme die Taylorreihe von [mm]\frac{x^2}{x-3}[/mm] bei [mm]x_0=0[/mm]
> f(x)= [mm]\frac{x^2}{x-3}[/mm]
> f'(x)= [mm]\frac{2x*(x-3)-x^2}{(x-3)^2}[/mm]
> f''(x) = [mm]\frac{(2x-6)*(x-3) - (2x^2-6-x^2)*2}{(x-3)^3}[/mm]
Da brauchst du keine Ableitungen auszurechnen. [mm] \frac{1}{x-3} [/mm] lässt sich auf die geometrische Reihe zurückführen, und dann musst du nur noch mit [mm] x^2 [/mm] multiplizieren.
>
> Wie erkennt man da für die [mm]f^{(k)}[/mm] Ableitung ein Muster
> für den Zähler?
> Hab mir einige Ableitungen von einen programm ausrechnen
> lassen, erkenne aber trotzdem keine Regelmäßigkeit,kann
> das vorkommen?
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Aber das hat doch dann trotzdem nicht die Form der Summe einer geometrischen Reihe
[mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
Da fehlt die 1-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] x-3=-3(1-\bruch{x}{3})
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Dann hätte ich
[mm] -\frac{1}{3} [/mm] * [mm] \frac{1}{\frac{1-x/3}{x^2}} [/mm] = [mm] -\frac{x^2}{3} [/mm] * [mm] \frac{1}{1-x/3}
[/mm]
[mm] -\frac{x^2 }{3} [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty (\frac{x}{3})^k
[/mm]
Mich stört das [mm] x^2 [/mm] außerhalb der SUmme. Hab ich da wa falsch gemacht oder kann man umformen?
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> Dann hätte ich
> [mm]-\frac{1}{3}[/mm] * [mm]\frac{1}{\frac{1-x/3}{x^2}}[/mm] =
> [mm]-\frac{x^2}{3}[/mm] * [mm]\frac{1}{1-x/3}[/mm]
>
> [mm]-\frac{x^2 }{3}[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty (\frac{x}{3})^k[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}^\infty -\frac{x^{k+2}}{3^{k+1}}=\sum_{j=2}^\infty -\frac{x^{j}}{3^{j-1}}
[/mm]
> Mich
> stört das [mm]x^2[/mm] außerhalb der SUmme. Hab ich da wa falsch
> gemacht oder kann man umformen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
danke
$ [mm] =\sum_{k=0}^\infty -\frac{x^{k+2}}{3^{k+1}}=\sum_{j=2}^\infty -\frac{x^{j}}{3^{j-1}} [/mm] $
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe?
Für |x| < 1 da es eine geometrische Reihe darstellt.
Passt die ANtwort?
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> Hallo,
> danke
> [mm]=\sum_{k=0}^\infty -\frac{x^{k+2}}{3^{k+1}}=\sum_{j=2}^\infty -\frac{x^{j}}{3^{j-1}}[/mm]
>
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe?
> Für |x| < 1 da es eine geometrische Reihe darstellt.
> Passt die ANtwort?
Nein.
Du hast die geometrische Reihe für q=x/3 benutzt, d.h. die Reihe konvergiert für [mm] |x/3|<1\Leftrightarrow [/mm] |x|<3. Damit ist der Konvergenzradius 3.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
danke ist klar.
lg
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