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Guten Tag
Nach dem![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Artikel über Taylorreihen, kann man dadurch einige Abschätzugen treffen.
Dort stehen die Taylorreihen der wichtigsten Funktionen. Was mir aber nicht so klar ist, wie man auf die "häufig verwendeten Näherungen" kommt.
Wenn wir das Beispiel $ ln(x+1) $ betrachten. Diese funktion hat die Taylorreihe:
$ ln(1+x) = [mm] \summe_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\bruch{x^n}{n} [/mm] $
für $ -1 < x < 1 $. Nun steht dort: für $ |x| << 1 $:
$ ln(1+x) [mm] \sim [/mm] x$.
Nun wie ist dieses $ [mm] \sim [/mm] $ zu verstehen? Gibt es da einen Bezug zur Landaunotation. Ich nehme an, man argumentiert, dass für sehr kleine $ x $, die Potenzen sehr kleiner Zahlen sehr klein sind und daher nur der erste Term in der Taylorreihe eine Rolle spielt. Kann man dies aber auch quantifizieren?
Liebe Grüsse
Marianne88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag
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> Nach demWikipedia
> Artikel über Taylorreihen, kann man dadurch einige
> Abschätzugen treffen.
>
> Dort stehen die Taylorreihen der wichtigsten Funktionen.
> Was mir aber nicht so klar ist, wie man auf die "häufig
> verwendeten Näherungen" kommt.
> Wenn wir das Beispiel [mm]ln(x+1)[/mm] betrachten. Diese funktion
> hat die Taylorreihe:
>
> [mm]ln(1+x) = \summe_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\bruch{x^n}{n}[/mm]
>
> für [mm]-1 < x < 1 [/mm]. Nun steht dort: für [mm]|x| << 1 [/mm]:
>
> [mm]ln(1+x) \sim x[/mm].
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> Nun wie ist dieses [mm]\sim[/mm] zu verstehen? Gibt es da einen
> Bezug zur Landaunotation. Ich nehme an, man argumentiert,
> dass für sehr kleine [mm]x [/mm], die Potenzen sehr kleiner Zahlen
> sehr klein sind und daher nur der erste Term in der
> Taylorreihe eine Rolle spielt. Kann man dies aber auch
> quantifizieren?
1. Es gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0 }\bruch{ln(1+x)}{x}=1.
[/mm]
2. Mit Hilfe des Satzes von Taylor und eine geeigneten Abschätzung des Restgliedes sieht man:
$ |ln(x+1)-x| [mm] \le \bruch{x^2}{2}$
[/mm]
FRED
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> Liebe Grüsse
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> Marianne88
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