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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 03.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Taylorreihe bestimmen von tan(x) |
Hallo,
bei dieser Aufgabe hänge ich fest. Habe besser gesagt eher schwierigkeiten beim Ableiten vom tan(x)
Hier erst mal meine Vorgehensweise. Der Entwicklungspunkt wurde uns vorgegeben und zwar x0=0
f(x)=tan(x) ; tan (0) = 0
f´(x)= [mm] \bruch{1}{cos^{2}(x)} [/mm] ( Diese Ableitung habe ich gewusst ,herleiten könnte ich sie nicht. Es gibt dafür glaub auch noch andere irgendetwas mit sec oder so. ; f´(0) [mm] =\bruch{1}{cos^{2}(0)}=1
[/mm]
f´´(x) [mm] =\bruch{-1*2cos(x)*(-sin(x)}{(cos^{2}(x))^{2}} [/mm] Diese Ableitung habe ich mithilfe der Quotientenregel gemacht. ;f´´(0)=0
Jetzt wird für mich schwierig den wieder die Quotientenregel anzuwenden (Kettenregel ebenfalls) würde schon ziemlich aufwendig und so wie ich mich kenne würde ich da bestimmt fehler machen. Mein Lehrer hat dort als Ableitung folgendes stehen [mm] 2tan(x)sec^{2}(x) [/mm] wie kommt man darauf das verstehe ich nicht kann mir das jemand erklären? Wie oft muss man eigentlich zur entwicklung der Taylorreihe ableiten? Wenn ich jetztaufhören würde, da ich nicht weiter komme hätte ich nämlich nur als Lösung da f(x)=x stehen
mfg
RWBK
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Hallo RWBK,
> Taylorreihe bestimmen von tan(x)
> Hallo,
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> bei dieser Aufgabe hänge ich fest. Habe besser gesagt eher
> schwierigkeiten beim Ableiten vom tan(x)
>
> Hier erst mal meine Vorgehensweise. Der Entwicklungspunkt
> wurde uns vorgegeben und zwar x0=0
>
> f(x)=tan(x) ; tan (0) = 0
> f´(x)= [mm]\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm] ( Diese Ableitung habe ich
> gewusst ,herleiten könnte ich sie nicht. Es gibt dafür
> glaub auch noch andere irgendetwas mit sec oder so. ;
> f´(0) [mm]=\bruch{1}{cos^{2}(0)}=1[/mm]
> f´´(x) [mm]=\bruch{-1*2cos(x)*(-sin(x)}{(cos^{2}(x))^{2}}[/mm]
> Diese Ableitung habe ich mithilfe der Quotientenregel
> gemacht. ;f´´(0)=0
>
> Jetzt wird für mich schwierig den wieder die
> Quotientenregel anzuwenden (Kettenregel ebenfalls) würde
> schon ziemlich aufwendig und so wie ich mich kenne würde
> ich da bestimmt fehler machen. Mein Lehrer hat dort als
> Ableitung folgendes stehen [mm]2tan(x)sec^{2}(x)[/mm] wie kommt man
> darauf das verstehe ich nicht kann mir das jemand
> erklären? Wie oft muss man eigentlich zur entwicklung der
> Taylorreihe ableiten? Wenn ich jetztaufhören würde, da
> ich nicht weiter komme hätte ich nämlich nur als Lösung
> da f(x)=x stehen
Verwende für die Ableitung: [mm]f'\left(x\right)=1+\tan^{2}\left(x\right)[/mm]
Dann kannst Du f'' gemäß der Ketten- und Potenzregel bilden.
>
> mfg
> RWBK
Gruss
MathePower
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Hallo RWBK,
kleine Ergänzung:
> Taylorreihe bestimmen von tan(x)
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe hänge ich fest. Habe besser gesagt eher
> schwierigkeiten beim Ableiten vom tan(x)
>
> Hier erst mal meine Vorgehensweise. Der Entwicklungspunkt
> wurde uns vorgegeben und zwar x0=0
>
> f(x)=tan(x) ; tan (0) = 0
> f´(x)= [mm]\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm] ( Diese Ableitung habe ich
> gewusst ,herleiten könnte ich sie nicht. Es gibt dafür
> glaub auch noch andere irgendetwas mit sec oder so. ;
Na, es ist doch [mm]f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm]
Das kannst du per Quotientenregel ableiten:
[mm]f'(x)=\frac{\cos(x)\cdot{}\cos(x)-\sin(x)\cdot{}(-\sin(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}[/mm]
Alternativ im letzten Schritt: [mm]=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2=1+\tan^2(x)[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 03.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hi, danke für eure Tipps und Anmerkung. Kann mir vllt noch jemand sagen wie oft man für die Taylorreihen entwicklung ableiten muss? Den mal leitet unser Lehrer nur einmal ab einanderes mal 5 oder 6 mal. Worauf muss man da am besten achten?
mfg
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Hallo nochmal,
> Hi, danke für eure Tipps und Anmerkung. Kann mir vllt noch
> jemand sagen wie oft man für die Taylorreihen entwicklung
> ableiten muss?
Das kann man pauschal nicht sagen.
> Den mal leitet unser Lehrer nur einmal ab
> einanderes mal 5 oder 6 mal. Worauf muss man da am besten
> achten?
Du solltest sooft ableiten, bis du ein Schema erkennst.
Das wiederum solltest du dann korrekterweise per vollst. Induktion beweisen.
Du brauchst für die Taylorreihe ja unendlich viele Ableitungen.
Wenn du zB. 5mal ableitest und ein Schema erkennst (evtl. nach Auswertung an der Stelle [mm] $x_0$), [/mm] dann stelle die Beh. auf:
Für [mm] $n\in\IN$ [/mm] sieht die $n$-te Ableitung so uns so aus:
[mm] $f^{(n)}(x)=...$ [/mm] oder ausgewertet [mm] $f^{(n)}(x_0)=...$
[/mm]
Dies beweise per Induktion über n
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Do 04.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Ich hab das immer noch nicht verstanden wie ich die Taylorreihe mit Hilfe der Summenformel schreiben kann.
Ich hoffe jemand kann mir das vllt an der folgenden Beispielaufgabe erklären/erläutern:
f(x0)=cos (x0) ; f(0) = cos(0)=1
f´(x0)=-sin(x0) ; f´(0) = -sin(0)=0
f´´(x0)=-cos(x0) ; f´´(0)=-cos(0)=-1
f´´´(x0)=sin(x0) ; f´´´(0)=sin(0)=0
f´´´´(x0)=cos(x0) ; f´´´´(0) = cos(0)=1
f´´´´´(x0)=-sin(x0) ; f´´´´´(0)= -sin(0)=0
[mm] f(x)=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}\pm [/mm] . . . [mm] x\in\IR
[/mm]
Bis hierher hab ich jede Aufgabe aber ab dann ist Schluss ich erkenne da nix außer ob es gerade nur gerade Exponenten sind oder nicht und ob + und - sich abwechseln. Kann mir das vllt jemand einmal anhand dieser AUfgabe erklären?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab das immer noch nicht verstanden wie ich die
> Taylorreihe mit Hilfe der Summenformel schreiben kann.
> Ich hoffe jemand kann mir das vllt an der folgenden
> Beispielaufgabe erklären/erläutern:
>
> f(x0)=cos (x0) ; f(0) = cos(0)=1
> f´(x0)=-sin(x0) ; f´(0) = -sin(0)=0
> f´´(x0)=-cos(x0) ; f´´(0)=-cos(0)=-1
> f´´´(x0)=sin(x0) ; f´´´(0)=sin(0)=0
> f´´´´(x0)=cos(x0) ; f´´´´(0) = cos(0)=1
> f´´´´´(x0)=-sin(x0) ; f´´´´´(0)= -sin(0)=0
> [mm]f(x)=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}\pm[/mm] . . .
> [mm]x\in\IR[/mm]
>
> Bis hierher hab ich jede Aufgabe aber ab dann ist Schluss
> ich erkenne da nix außer ob es gerade nur gerade
> Exponenten sind oder nicht und ob + und - sich abwechseln.
> Kann mir das vllt jemand einmal anhand dieser AUfgabe
> erklären?
Taylorentwicklung von Kosinus um [mm] x_0=0:
[/mm]
$ [mm] \cos [/mm] (x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] = [mm] \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\cdots [/mm] $
FRED
>
> mfg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 04.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hat sich erledigt danke.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Do 04.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Diesen vorderen Teil check ich nicht. Da bin ich zu blöde
> zu ( den Bruch hinter dem Summenzeichen)
>
> mfg
Meinst du :
[mm] \cos(x)=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\red{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\right][/mm]
Es gilt:
[mm] \sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\red{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\right][/mm]
[mm] =\underbrace{(-1)^0\frac{x^{2\cdot0}}{(2\cdot0)!}}_{n=0}+\underbrace{(-1)^1\frac{x^{2\cdot1}}{(2\cdot1)!}}_{n=1}+\underbrace{(-1)^2\frac{x^{2\cdot2}}{(2\cdot2)!}}_{n=2}+\ldots [/mm]
Marius
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