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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mi 15.04.2009 | | Autor: | mertim |
| Aufgabe | Zeigen Sie , dass die Approximation der ersten Ableitung
f′(x) = f(x + [mm] \Delta [/mm] x) − f(x)
[mm] \Delta [/mm] x
1. Ordnung Genauigkeit hat.
Lösung:
Entwickle f in einer Taylorreihe um x:
f(x + [mm] \Delta [/mm] x) = f(x) + f'(x) [mm] \bruch{\Delta x}{1!} [/mm] + f''(x) [mm] \bruch{(\Delta x)^2}{2!} [/mm] + [mm] O((\Deltax)^3)
[/mm]
danach bestimmen sie den Abbruchfehler
Berechne Abbruchfehler :
theta = [mm] \bruch{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} [/mm] - f'(x) = f''(x) [mm] \bruch{\Delta x}{2!} [/mm] + [mm] O((\Delta x)^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1.Ordnung Genauigkeit
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1. Was ich hier nicht verstehe wieso die hier f in einer Taylorreihen entwickel um es zu beweisen?
2. Was ist ein Abbruchfehler ? und wieso berechne ich dies ?
Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen würde
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wenn man eine Funktion in eine Taylorreihe entwickelt, bekommt man bei vielen Funktionen unendlich viele Glieder heraus (bei Polynomen kommt das Polynom selber wieder heraus). Berechnet man nun einen Funktionswert mit Hilfe der Taylor-Entwicklung, macht man oft nach endlich vielen Schritten halt. Beispiel: Wie kann ein Taschenrechner sin(20°) berechnen? Es gibt eine Taylorreihe mit unendlich vielen Gliedern, der Rechner berechnet vielleicht die ersten 30 davon und macht dann einfach Schluss, weil er ja eigentlich nie fertig würde. Durch diesen "vorzeitigen" Abbruch kommt es zu einem sog. Abbruchfehler, den man abschätzen kann.
Grundsätzlich gilt für den Abbruch nach n Gliedern, wenn f (n+1)-mal differenzierbar ist:
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{n}\bruch{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i +\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} [/mm] , wobei [mm] \xi [/mm] zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegt.
Das letzte Glied ersetzt also alle weiteren Summanden; es sieht genau so aus, wie das nächste in der Reihenfolge, hat aber statt [mm] x_0 [/mm] bei der (n+1)-ten Ableitung das im allgemeinen unbekannte [mm] \xi.
[/mm]
Wenn du in deiner Formel [mm]f(x + \Delta x) = f(x) + f'(x)\bruch{(\Delta x)}{1!} + f''(\xi)\bruch{(\Delta x)^2}{2!} [/mm] setzt und [mm] O^3 [/mm] weglässt, wird die Sache noch klarer.
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