Taylorreihe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, hab mal ne Frage hab hier ne Aufgabe bzw zwei bei denen die Taylorreihe aufzustellen ist und zwar:
a) f(x,y) = [mm] x^{2}*sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
und es heißt entwickeln sie die Taylorreihe nach der Taylorformel um den Entwicklungspunkt blablabla bis inklusive Termen zweiter Ordnung.
b) f(x,y) = [mm] y^{4}-3xy^{2}+x^{3}
[/mm]
entwickeln sie die funktion um den Entwicklungspunkt blablabla in ihre Taylorreihe!
Meine Frage ist nun was heißt bei der a) inklusive zweiter Ordnung, muss ich die Taylorreihe zweiter Ordnung bestimmen oder?
und wie bei b) ???
lg Surfer
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Hallo,
ich bin zwar keine Expertin hier, aber mit Taylor hab ich mich eigtl immer sehr gern beschäftigt. Hier also mein Tipp dazu:
So wie es aussieht, handelt es sich ja um eine mehrdimensionale Funktion. Und da liegt die Schwierigkeit bei Taylor mehr in der Schreibweise als im Inhalt. Man kann da aber mit höheren Ableitungen arbeiten, dann wird es übersichtlicher.
Wie du sicher aus der Vorlesung weißt:
Wenn G [mm] \subset \IR^n [/mm] offen, x, [mm] \mu \in [/mm] G, h:= x - [mm] \mu [/mm] und [mm] f:G\to\IR [/mm] m-mal stetig diffbar, dann ist das Polynom
[mm] T_{m}(x)=T_{m}(\mu [/mm] + h) =
[mm] =\summe_{|a|\le m}^{}\bruch{D^{\alpha}f(\mu)}{\alpha!}(x-\mu)^{\alpha} [/mm] =
[mm] =\summe_{k=0}^{m}\bruch{1}{k!}f^{(k)}(\mu,\underbrace{h,...,h)}_{k-mal}
[/mm]
das m-te Taylorpolynom von f mit dem Entwicklungspunkt [mm] \mu.
[/mm]
Das 0.Taylorpolynom [mm] T_0(x) [/mm] ist konstant gleich dem Funktionswert [mm] f(\mu) [/mm] im Entwicklungspunkt.
Das 1.Taylorpolynom ist die lineare Näherung von f.
Es ist
[mm] T_1(x):= T_0(x)+\summe_{|a|=1}^{}\bruch{D^{\alpha}f(\mu)}{\alpha!}(x-\mu)^{\alpha} [/mm] =
= [mm] f(\mu) [/mm] + <grad [mm] f(\mu),(x-\mu)> [/mm] =
= [mm] f(\mu) +[D_1f(\mu)(x_1-\mu_1)+...+D_nf(\mu)(x_n-\mu_n)]
[/mm]
Das 2. Taylorpolynom ist die quadratische Näherung von f.
Es ist
[mm] T_2(x) [/mm] := [mm] T_1(x) [/mm] + [mm] \summe_{|a|=2}^{}\bruch{D^{\alpha}f(\mu)}{\alpha!}(x-\mu)^{\alpha}= [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\summe_{j,k=1}^{n}D_jD_kf(\mu)(x_j-\mu_j)(x_k-\mu_k) [/mm] =
= [mm] T_1(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(x-\mu)^T H_f(\mu)(x-\mu)
[/mm]
Dabei ist [mm] H_f(\mu) [/mm] die aus den zweiten partiellen Ableitungen gebildete (symmetrische) Hesse-Matrix von f an der Stelle [mm] \mu.
[/mm]
Versuchs doch mal damit...
Lg FilleDeDanann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ja gut, das ist mir eigentlich ziemlich klar, aber ich versteh die Aufgabe nicht ganz, soll ich jetzt das 0-te , 1-te oder 2-te Taylorpolynom der s Funktionen berechnen oder sogar alle 2?
lg Surfer
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Hallo!
Wenn du dir mal die Formeln anschaust, dann siehst du, dass du zur Berechnung des [mm] T_2 [/mm] das [mm] T_1 [/mm] brauchst und wiederum zur Berechnung des [mm] T_1 [/mm] brauchst du das [mm] T_0 [/mm] - wenn du nun also laut der Aufgabe das 2. Taylorpolynom angeben sollst, welche solltest du dann berechnen? Überleg doch mal....
Lg FilleDeDanann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok die 0te 1te und 2te aber im repretorium gibt es eine Formel die mich direkt aufs 2te führt und muss dann gar nicht die 0te und 1te berechnen!
lg Surfer
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Dann schreib doch die Formel mal hier rein und dann kann ich dir vielleicht sagen, ob du die hier verwenden kannst/darfst...
Lg FilleDeDanann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Sehr gute Idee:
[mm] T_{2} [/mm] = f(x0,y0) + [mm] f_{x}(x0,y0)(x-x0) [/mm] + [mm] f_{y}(x0,y0)(y-y0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(f_{xx})x0,y0)(x-x0)^{2} [/mm] + [mm] 2*f_{xy}(x0,y0)(x-x0)(y-y0) [/mm] + [mm] f_{yy}(x0,y0)(y-y0)^{2} [/mm] )
sodele, wobei ich ja [mm] T_{0} [/mm] und [mm] T_{1} [/mm] wahrscheinlich auch berechnen sollte wenn es heißt inklusive der [mm] T_{2} [/mm] oder?
lg Surfer und danke für deine Hilfe
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Hallo!
Also, wenn du dir diese Formel mal genauer anschaust - wenn ich mich irre soll mich bitte jemand korrigieren!! - dann erkennst du in den ersten Summanden doch [mm] T_0 [/mm] und [mm] T_1 [/mm] - oder nicht?? Hier ist es nur schon reingeschrieben - das kannst du mit den obigen Formeln genauso tun (hier werden eben x und y jeweils einmal festgehalten).
Ich hab eben die Erfahrung gemacht, dass man sich immer darauf verlassen kann, dass man zum Ziel kommt, wenn man die einzelnen Summanden berechnet stur nach der Taylorformel berechnet. Ich weiß ja nicht, was du studierst, aber ich persönlich würde ungern im Examen sitzen wollen und mir so eine Formel aus der Tasche ziehen müssen. Es ist produktiver, das Prinzip der Taylorentwicklung verstanden zu haben. Sicher musst du auch im Umgang mit der Konvergenz sein - denn es gibt viele hübsche Ausnahmen, wo die Taylorreihe NICHT gegen die Funktion konvergiert! Aber das nur so nebenbei. Das ist eben das Eigentliche, was man verstanden haben sollte. Das Entwickeln selbst und das hinschreiben der Terme ist dann nur noch Mittel zum Zweck.
Lg FilleDeDanann
PS: Bitte, gerngeschehen, andere können aber gerne auch noch ihr Wissen hierzu einbringen!! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
D.h wenn ich die einzelnen Taylorreihen aufsummiere sprich [mm] T_{0} [/mm] + T{1} erhalte ich immer die nächste?
lg Surfer
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NEEEE!!! :-O
Wie ich vorhin schon sagte:
[mm] T_0 [/mm] ist der Funktionswert am Entwicklungspunkt,
dann ist [mm] T_1 [/mm] = [mm] T_0 [/mm] + Taylorformel für |a|=1,
dann ist [mm] T_2= T_0 [/mm] + [mm] T_1 [/mm] + Taylorformel für |a|=2,
das heißt also, die vorherigen Formeln sind Summanden der nächsthöheren Formel, jedoch fehlt natürlich dann noch der neue Summand der sich aus der Formel ergibt.
Schau dir einfach die Formeln, die ich oben geschrieben hab, nochmal an und probier einfach stur durch zu rechnen alle 3 Formeln (denn du brauchst ja die ersten beiden für die dritte!!).
Ich muss leider weg... - hoffe dennoch, dass ich dir bissl Klarheit bringen konnte...
Lg FilleDeDanann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo würde gerne mal, dass jemand meine Ableitungen kontrolliert:
zu a) f(x,y) = [mm] x^{2}*sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] 2x*sin\bruch{xy}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}yx^{2}*cos\bruch{xy}{2}
[/mm]
[mm] f_{xx}(x,y) [/mm] = [mm] 2sin\bruch{xy}{2} [/mm] + [mm] 2xycos\bruch{xy}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}*y}{2}*sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{x^{3}}{2}cos\bruch{xy}{2}
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,y) [/mm] = [mm] -\bruch{x^{3}}{4}sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
[mm] f_{xy}(x,y) [/mm] = [mm] x^{2}cos\bruch{xy}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{4}sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
zu b) f(x,y) = [mm] y^{4} [/mm] - [mm] 3xy^{2} [/mm] + [mm] x^{3}
[/mm]
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] -3y^{2} [/mm] + [mm] 3x^{2}
[/mm]
[mm] f_{xx}(x,y) [/mm] = 6x
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] 4y^{3} [/mm] - 6xy
[mm] f_{yy}(x,y) [/mm] = [mm] 12y^{2} [/mm] - 6x
[mm] f_{xy} [/mm] = -6y
?????
stimmen diese Ableitungen soweit?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Di 24.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Surfer,
> Hallo würde gerne mal, dass jemand meine Ableitungen
> kontrolliert:
> zu a) [mm] f(x,y)=x^{2}*sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
>
> [mm] f_{x}(x,y)=2x*sin\bruch{xy}{2}+\bruch{1}{2}yx^{2}*cos\bruch{xy}{2}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] f_{xx}(x,y)=2sin\bruch{xy}{2}+2xycos\bruch{xy}{2}-\bruch{x^{2}*y^{\red{2}}}{2*\red{2}}*sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
im letzten Term hast du das Nachdifferenzieren vergessen
> [mm] f_{y}(x,y)=\bruch{x^{3}}{2}cos\bruch{xy}{2}
[/mm]
> [mm] f_{yy}(x,y)=-\bruch{x^{\red{4}}}{4}sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
kleiner Fehler (Verschreiber?) auch hier
>
> [mm] f_{xy}(x,y)=x^{2}cos\bruch{xy}{2}-\bruch{x^{3}}{4}sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") der ging daneben, rechne mal vor zur Fehlersuche
> zu b) f(x,y) = [mm]y^{4}[/mm] - [mm]3xy^{2}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm]
>
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = [mm]-3y^{2}[/mm] + [mm]3x^{2}[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y)[/mm] = 6x
>
> [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = [mm]4y^{3}[/mm] - 6xy
> [mm]f_{yy}(x,y)[/mm] = [mm]12y^{2}[/mm] - 6x
>
> [mm]f_{xy}[/mm] = -6y
b) ist ok ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok hab die Ableitung [mm] f_{xy}(x,y) [/mm] nochmal gerechnet
und bekomme dann: [mm] f_{xy}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}x^{2}*cos\bruch{xy}{2}-\bruch{1}{4}x^{3}y*sin\bruch{xy}{2}
[/mm]
so richtig?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 24.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Ok hab die Ableitung [mm]f_{xy}(x,y)[/mm] nochmal gerechnet
>
> und bekomme dann: [mm]f_{xy}(x,y)[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}x^{2}*cos\bruch{xy}{2}-\bruch{1}{4}x^{3}y*sin\bruch{xy}{2}[/mm]
>
> so richtig?
jop - das ist richtig
Lg
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:11 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Dann würde doch bei der b) meine Taylorreihen lauten:
um den Entwicklungspunkt (1,1)
[mm] T_{0}(x,y) [/mm] = -1
[mm] T_{1}(x,y) [/mm] = -1 -2(y-1)
[mm] T_{2}(x,y) [/mm] = -1 -2(y-1) + [mm] 3(x-1)^{2} [/mm] - 6(x-1)(y-1) + [mm] 3(y-1)^{2}
[/mm]
oder?
die a) hab ich nun auch und hab folgendes raus:
für den Entwicklungspunkt [mm] (1,\pi)
[/mm]
[mm] T_{0}(x,y) [/mm] = 1
[mm] T_{1}(x,y) [/mm] = 1 + 2(x-1)
[mm] T_{2}(x,y) [/mm] = 1 + 2(x-1) + [mm] \bruch{8 - \pi}{8}(x-1)^{2} -\bruch{\pi}{4}(x-1)(y -\pi) [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}(y-\pi)^{2}
[/mm]
lg und danke für die Hilfe
Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 24.06.2008 | | Autor: | Herby |
Salut
hoppla, ich war gerade mal mit der b) fertig ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
also verrechnet hast du dich da nicht, aber ob du nun fertig bist, kann ich nicht sagen, da ich noch nie (bis auf gerade eben) eine Taylorreihe mit mehreren Variablen erstellen musste, sorry
so long
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ach super danke für die Bestätigung, doch ich denke so müsste es fertig sein oder ist jemand anderer Meinung, könntest du mir noch die zweite Kontrollieren?
super nett von dir!
lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 24.06.2008 | | Autor: | derKeek |
fehlt bei
$ [mm] f_{xx}(x,y)=2sin\bruch{xy}{2}+2xycos\bruch{xy}{2}-\bruch{x^{2}\cdot{}y^{\red{2}}}{2\cdot{}\red{2}}\cdot{}sin\bruch{xy}{2} [/mm] $
nicht ein teil der inneren ableitung. Also das das [mm] \bruch{1}{2}? [/mm]
sodas es heißt :
[mm] xycos\bruch{xy}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 24.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> fehlt bei
> [mm]f_{xx}(x,y)=2sin\bruch{xy}{2}+2xycos\bruch{xy}{2}-\bruch{x^{2}\cdot{}y^{\red{2}}}{2\cdot{}\red{2}}\cdot{}sin\bruch{xy}{2}[/mm]
> nicht ein teil der inneren ableitung. Also das das
> [mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
> sodas es heißt :
> [mm]xycos\bruch{xy}{2}[/mm]
nein, denn da war ein [mm] x^2 [/mm] und du erhältst zweimal den gleich Term - eine 2 kürzt sich beim Nachdifferenzieren weg, die andere bleibt (Produktregel)
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 24.06.2008 | | Autor: | derKeek |
f(x) = [mm] $2xsin\bruch{xy}{2}$
[/mm]
dx = [mm] $2sin\bruch{xy}{2} [/mm] + [mm] xycos\bruch{xy}{2}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 24.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> f(x) = [mm]2xsin\bruch{xy}{2}[/mm]
>
> dx = [mm]2sin\bruch{xy}{2} + xycos\bruch{xy}{2}[/mm]
genau - und nun der andere Term
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Mi 25.06.2008 | | Autor: | derKeek |
du hast es aber net so:
$ [mm] 2sin\bruch{xy}{2} [/mm] + [mm] xycos\bruch{xy}{2} [/mm] $
sondern so :
$ [mm] 2sin\bruch{xy}{2} [/mm] + 2 [mm] xycos\bruch{xy}{2} [/mm] $
abgeleitet.
wollte euch eigentlich nur auf den fehler hinweisen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> du hast es aber net so:
> [mm]2sin\bruch{xy}{2} + xycos\bruch{xy}{2}[/mm]
>
> sondern so :
> [mm]2sin\bruch{xy}{2} + 2 xycos\bruch{xy}{2}[/mm]
> abgeleitet.
das stimmt nur teilweise, denn das was bei dir steht ist ja auch nur die halbe Ableitung - leite den anderen Teil auch noch ab, fasse zusammen und du erhältst deine 2 zurück, denn: [mm] xycos\bruch{xy}{2}+xycos\bruch{xy}{2}=\red{2}*xycos\bruch{xy}{2}
[/mm]
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 25.06.2008 | | Autor: | derKeek |
okay, langsam nerv ich, aber wo du jetz auf den zweiten teil eingehst:
$ [mm] \bruch{x^{2}\cdot{}y}{2}\cdot{}sin\bruch{xy}{2} [/mm] $
was ist da mit der inneren ableitung vom sinus passiert.
müsste es nicht :
$ [mm] \bruch{x^{2}\cdot{}y^{2}}{4}\cdot{}sin\bruch{xy}{2} [/mm] $
heißen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
> okay, langsam nerv ich,
nein, du nervst überhaupt nicht - kein Problem - und außerdem noch nachträglich ein recht herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> aber wo du jetz auf den zweiten
> teil eingehst:
> [mm]\bruch{x^{2}\cdot{}y}{2}\cdot{}sin\bruch{xy}{2}[/mm]
> was ist da mit der inneren ableitung vom sinus passiert.
> müsste es nicht :
> [mm]\bruch{x^{2}\cdot{}y^{2}}{4}\cdot{}sin\bruch{xy}{2}[/mm]
> heißen
doch, müsste es nicht nur, sondern heißt es auch (ich hatte es doch oben schon so korrigiert) - allerdings ist das ebenso wieder nur die Hälfte der Produktregel - wie lautet die andere Hälfte und wie lautet der ganze Kram zusammengefasst?
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mi 25.06.2008 | | Autor: | derKeek |
oh stimmt. haste ja echt korrigiert^^
naja okay, dann passts
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
die Ableitung [mm] f_{xx}(x,y) [/mm] ergibt sich nach Produktregel zu:
[mm] f(x,y)=x^2*sin\left(\bruch{xy}{2}\right)
[/mm]
[mm] f_x(x,y)=\blue{2x*sin\left(\bruch{xy}{2}\right)}+\green{\bruch{1}{2}x^2y*cos\left(\bruch{xy}{2}\right)}
[/mm]
[mm] f_{xx}(x,y)=\blue{2*sin\left(\bruch{xy}{2}\right)+xy*cos\left(\bruch{xy}{2}\right)}+\green{xy*cos\left(\bruch{xy}{2}\right)-\bruch{x^2y^2}{4}sin\left(\bruch{xy}{2}\right)}
[/mm]
und das ist:
[mm] f_{xx}(x,y)=2*sin\left(\bruch{xy}{2}\right)+\red{2}*xy*cos\left(\bruch{xy}{2}\right)-\bruch{x^2y^2}{4}*sin\left(\bruch{xy}{2}\right)
[/mm]
so besser?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:28 So 29.06.2008 | | Autor: | marder |
hey, hat jemand von euch eine ahnung wie man das ganze mit dem ti-voyage (ti-200) ausrechnet?
Mein Ansatz war:
[mm] taylor(x²*sin(xy/2),\{x,y\},2,\{1,\pi\})
[/mm]
aber ich bekomm nen fehler bezüglich {x,y}...
wenn ich nur x oder y schreibe kommt kein fehler, allerdings kommt dann auch nicht das raus was ich von hand ausgerechnet habe (siehe oben, das ergebnis stimmt!!!)
wäre dankbar für eure hilfe
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Hallo,
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Bitte in Zukunft keine Doppelpostings mehr.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Mo 30.06.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | b) f(x,y) = $ [mm] y^{4}-3xy^{2}+x^{3} [/mm] $
entwickeln sie die funktion um den Entwicklungspunkt blablabla in ihre Taylorreihe! |
Also hier soll doch eine TaylorREIHE aufgestellt werden und kein Taylorpolynom zweiter Stufe. Und ist es nicht so, dass wenn man ein Polynom in eine Taylor-Reihe entwickelt wieder das Polynom erhält?
Wie würde das dann aussehen wenn man als Entwicklungspunkt (1,1) nimmt?
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> b) f(x,y) = [mm]y^{4}-3xy^{2}+x^{3}[/mm]
> entwickeln sie die funktion um den Entwicklungspunkt
> blablabla in ihre Taylorreihe!
> Also hier soll doch eine TaylorREIHE aufgestellt werden und
> kein Taylorpolynom zweiter Stufe. Und ist es nicht so, dass
> wenn man ein Polynom in eine Taylor-Reihe entwickelt wieder
> das Polynom erhält?
Zugegeben: aber nicht in derselben Darstellung. So ist etwa die Taylorreihe von [mm] $3*x^4-2*x^3+x^2+7*x-4$ [/mm] um $x=1$ gleich $5 + 15*(x - 1) + 13*(x - [mm] 1)^2 [/mm] + 10*(x - [mm] 1)^3 [/mm] + 3*(x - [mm] 1)^4$.
[/mm]
>
> Wie würde das dann aussehen wenn man als Entwicklungspunkt
> (1,1) nimmt?
Mein CAS sagt, dass die Taylorreihe von $f(x,y)$
[mm]3*(x - 1)^2 - 6*(x - 1)*(y - 1) - 2*y + (x - 1)^3 + 3*(y - 1)^2 + 4*(y - 1)^3 +\
(y - 1)^4 - 3*(x - 1)*(y - 1)^2 + 1[/mm]
ist. Na, dies sollte man eigentlich noch aufsteigend nach der Ordnung der Summanden ordnen. Bei genauerem Hinschauen sehe ich, dass der Summand [mm] $-2\cdot [/mm] y$ eigentlich falsch ist. $x$ und $y$ sollten ja nur in Faktoren der Form [mm] $(x-1)^k$ [/mm] bzw. [mm] $(y-1)^k$ [/mm] auftreten. Man könnte dies korrigieren, indem man [mm] $-2\cdot [/mm] y$ durch [mm] $-2\cdot [/mm] (y-1)-2$ ersetzt und die neu dazugekommene $-2$ mit $+1$ verrechnet. Warum das CAS dies nicht selbst gemacht hat, ist mir ein Rätsel...
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
