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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mi 16.04.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Sei [mm] x_0\in\IR [/mm] beliebig.
a)Zeige, dass [mm] cos:\IR\to\IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] durch die Taylorreihe in [mm] x_0 [/mm] dargestellt wird, d.h. bezeichnet [mm] T_{x_0,n} [/mm] das n-te Taylorpolynom der cos-Fkt in [mm] x_0, [/mm] so gilt [mm] T_{x_0,n}\to{cos(x)} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] und jedes [mm] x\in\IR.
[/mm]
b)Berechne [mm] T_{\bruch{\pi}{4},2} [/mm] und zeige, dass dieses Polynom auf [mm] [\bruch{\pi}{4}-0,1 [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{4}+0,1] [/mm] von cos um weniger als einen Fehler von [mm] 2*10^{-4} [/mm] abweicht.
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a)Ich denke, dass ich hier die Taylorreihe bilden muss und dann zeigen soll, dass [mm] cos(x)-T_{x_0,n}=0 [/mm] ist, also das Restglied gegen 0 geht. Bin ich bis dahin schon mal auf dem richtigen Weg?
b)Hier kann ich das Taylorpolynom ja ausrechnen, dann muss ich denke ich überlegen, wie die cos-Fkt auf dem angegebenen Intervall verläuft. Jetzt kann ich wieder wie bei a) vorgehen und [mm] cos(x)-T_{x_0,n} [/mm] betrachten. Diesmal ist das Restglied jedoch nciht 0, sondern an einer bestimmten Stelle wirdes maximal groß, das bedeutet, dieser ert ist dann die maximale Abweichung zwischen Fkt und Taylorpolynom, oder?
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Ja, Du bist auf dem richtigen Weg.
(a) Das Restglied [mm] R_n [/mm] muß gegen Null gehen, damit die Funktion in Taylorreihe darstellbar ist. Es ist aber
R_(n-1) = (1/n!) * (cos^(n)(u)) * [mm] (x-x_0)^n, [/mm] mit einer Zwischenstelle
u [mm] \in [x_0,x], [/mm] wenn x > [mm] x_0. [/mm] Da die Ableitungen vom Kosinus bis
auf das Vorzeichen sämtlich Sinus oder Kosinus sind und der Betrag dieser
Winkelfunktionen durch 1 beschränkt ist, ergibt sich die Ungleichung
|R_(n-1)|<= (1/n!) * [mm] |x-x_0|^n [/mm] <= [mm] a^n/n!.
[/mm]
Der letzte Ausdruck beschreibt das n-te Glied der Potenzreihe von [mm] e^a,
[/mm]
welche bekanntlich überall konvergiert. Das bedeutet, daß dieses
n-te Glied gegen Nulll konvergieren muss. Also R_(n-1) -> 0.
(b) Die obigen Arbumente führen im vorgegebenen Intervall
zur Fehlerabschätzung für das Restglied der Form
|R_(n-1)|<= [mm] 0.1^n/!n!. [/mm] Mit n=3 folgt dann |R_(n-1)|<= 1.6667e-004.
das ist noch besser als die angegebene Schranke.
Gruss vom Schlunzbuns
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