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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Geben sie die Taylorreihe von [mm] \bruch{1+x}{1-x} [/mm] um [mm] x_0=0 [/mm] an. Berechnen Sie den Konvergenzradius. |
Für die Taylorreihe brauche ich erstmal die Ableitungen:
[mm] f(x)=\burch{1+x}{1-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1*(1-x)-(1+x)*(-1)}{(1-x)^2}=\bruch{1+x}{1-x}=f^{(n)}(x)
[/mm]
Dann ist Taylorreihe um 0:
[mm] T(k)=\bruch{1-0}{1-0}+\bruch{\bruch{1-0}{1-0}}{1!}(k-0)+\bruch{\bruch{1-0}{1-0}}{2!}(k-0)^2+...
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{n!}x^n}
[/mm]
Den Konvergenzradius r kann ich berechnen über:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|, [/mm] da [mm] a_n\not= [/mm] 0
d.h. r = [mm] lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{n!}}{\bruch{1}{n!*(n+1)}}|=lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)| \infty
[/mm]
Also ist der Konvergenzradius undendlich.
Passt das so? Oder hätte ich den Konvergenzradius mit [mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] berechnen müssen? Wobei das ja in dem Fall auf das gleiche rauslaufen würde oder?
[mm] [\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{n!}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] also doch eig auch strebend gegen [mm] \infty [/mm] oder?]
Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Geben sie die Taylorreihe von [mm]\bruch{1+x}{1-x}[/mm] um [mm]x_0=0[/mm] an.
> Berechnen Sie den Konvergenzradius.
> Für die Taylorreihe brauche ich erstmal die Ableitungen:
> [mm]f(x)=\burch{1+x}{1-x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1*(1-x)-(1+x)*(-1)}{(1-x)^2}=\bruch{1+x}{1-x}=f^{(n)}(x)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $f'(x)=\frac{2}{(x-1)^2}$.
[/mm]
> Dann ist Taylorreihe um 0:
>
> [mm]T(k)=\bruch{1-0}{1-0}+\bruch{\bruch{1-0}{1-0}}{1!}(k-0)+\bruch{\bruch{1-0}{1-0}}{2!}(k-0)^2+...[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{n!}x^n}[/mm]
Dies ist die Reihe der Exponentialfunktion: Du glaubst doch nicht, dass [mm] $\frac{1+x}{1-x}=\mathrm{e}^x$ [/mm] ist?
An Deiner Stelle würde ich die Taylorreihe gar nicht mit Hilfe der Ableitungen bestimmen, sondern so umformen:
[mm]f(x)=\frac{1+x}{1-x}=(1+x)\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty x^n+\sum_{n=0}^\infty x^{n+1}=:\sum_{n=0}^\infty a_n x^n[/mm]
Wobei
[mm]a_n =\begin{cases}1 & (n=0)\\2 & (n>0)\end{cases}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
autsch ... okay ich habe aus - ein * gemacht und nicht weiter gedacht :-[
Wie kommt man aber auf:
[mm] f(x)=\frac{1+x}{1-x}=(1+x)\sum_{n=0}^\infty x^n [/mm] ?
und in dem fall wäre r ja dann [mm] |\bruch{2}{2}|=1
[/mm]
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Hallo Zerwas!
Forme um zu: [mm] $\frac{1+x}{1-x} [/mm] \ = \ [mm] (1+x)*\blue{\bruch{1}{1-x}}$ [/mm] .
Und für den blauen Term wenden wir nun die Formel für die geometrische Reihe an:
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
okay gut ... da stand ich wieder mal aufm schlauch ... danke :)
Gruß Zerwas
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