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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Di 17.07.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo Leute,
ich hab einen kleines Problem bei einer Taylorreihe! und zwar soll ich zur Funktion f(x) = [mm] cos(x)*e^{x} [/mm] die Taylorreihe im Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0 bestimmen...
dazu muss ich ja ein Muster für die Ableitungen an der Stelle 0 herausbekommen, allredings hänge ich da ein wenig
ich schreibe hier mal die ersten 10 Ableitungen auf und vllt. erkennt ihr ein Muster...
beginnend beim Funktionswert und danach immer eine Ableitung weiter...:
1
1
0
-2
-4
-4
0
8
16
16
0
...
also das muster ist mir ja schon klar, beim nächsten kommt dann -32 -64 -64 und dann wieder die 0 usw. allerdings weiß ich nicht wie ich das allgemein für die n-te Ableitung aufschrieben kann... rekursiv so: [mm] f^{n}(x_{0}) [/mm] = [mm] f^{n-3}(x_{0})*(-4)
[/mm]
Allerdings bräuchte ich dies ja in Unabhängigkeit von den Ableitungen, kann mir jmd. weiterhelfen?
grüße
Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jana85!
Schreibe beide Summe ausfürlich;multipliziere sie und fasse gleiche x-Potenzen zusammen.
Hier zur Kontrolle meine LÖsung:
[mm] exp(x)=1+x-x^3/3-x^4/6-x^5/30+... [/mm] .
Hoffe das ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jana,
> also das muster ist mir ja schon klar, beim nächsten kommt
> dann -32 -64 -64 und dann wieder die 0 usw. allerdings
> weiß ich nicht wie ich das allgemein für die n-te Ableitung
> aufschrieben kann... rekursiv so: [mm]f^{n}(x_{0})[/mm] = [mm]f^{n-3}(x_{0})*(-4)[/mm]
Fast: [mm]f^{(n)}(x_{0}) = f^{(n-4)}(x_{0})*(-4)[/mm], [mm]n \geq 4[/mm].
Das gilt nicht nur für [mm]x_0 = 0[/mm], sondern sogar für beliebige x: [mm]f^{(n)}(x) = f^{(n-4)}(x)*(-4) \forall n \geq 4[/mm].
> Allerdings bräuchte ich dies ja in Unabhängigkeit von den
> Ableitungen, kann mir jmd. weiterhelfen?
Jede vierte Ableitung ergibt wieder denselben Wert, also auch wenn ich 8mal, 12mal, 16mal, usw. ableite. Also: [mm]f^{(4n+k)}(x) = f^{(k)}(x)*(-4)^n [/mm] für [mm]n\in\IN[/mm], [mm]k=0,1,2,3}[/mm].
Um das in die Formel für die Taylorreihe einzubauen, zerlegst du Taylorreihe
[mm] f(x) = \summe\limits_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n [/mm]
in 4 Teile:
- 0., 4., 8., 12., ... Ableitung,
- 1., 5., 9., 13., ... Ableitung,
- 2., 6., 10., 14., ... Ableitung,
- 3., 7., 11., 15., ... Ableitung.
Hilft dir das weiter?
Grüße
Rainer
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