Taylorreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Die Fkt [mm] \bruch{z}{sin z} [/mm] ist in z=0 holomorph fortsetzbar. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe um z=0.
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Hallo ;)
Worin liegt genau der Unterschied zwischen der Taylorreihenentwicklung und der Potenzreihenentwicklung ? Eine Taylorreihe ist doch eine Potenzreihe...?
Wie kann ich jetzt an diese Aufgabe rangehen ?
Würde mich über Tiops freuen.
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> Die Fkt [mm]\bruch{z}{sin z}[/mm] ist in z=0 holomorph fortsetzbar.
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe um z=0.
>
> Hallo ;)
>
> Worin liegt genau der Unterschied zwischen der
> Taylorreihenentwicklung und der Potenzreihenentwicklung ?
> Eine Taylorreihe ist doch eine Potenzreihe...?
Fuer holomorphe Funktionen (oder allgemeiner, fuer analytische Funktionen) stimmen beide Konzepte ueberein.
> Wie kann ich jetzt an diese Aufgabe rangehen ?
Erstmal musst du zeigen, dass die Funktion in $0$ holomorph ist. Nimm doch erstmal die Funktion $g(z) := [mm] \frac{\sin z}{z}$ [/mm] und setz die Reihenentwicklung von [mm] $\sin [/mm] z$ ein. Daran siehst du, dass $g$ durch eine Potenzreihe in $0$ beschreibbar ist, insofern ist $g$ um 0 herum holomorph. Jetzt musst du noch zeigen, dass $g$ in einer Umgebung von 0 keine Nullstelle hat; damit ist dann [mm] $\frac{z}{\sin z} [/mm] = [mm] \frac{1}{g(z)}$ [/mm] ebenfalls in einer Umgebung von 0 holomorph.
Zum Konvergenzradius: Wenn ihr genuegend viel Theorie hattet, dann ist das ganz einfach. Hattet ihr schon sowas in der Art?
Wenn $f : G [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph ist und [mm] $B_r(z_0) \subseteq [/mm] G$ ist (Kugel mit Radius $r$ um [mm] $z_0$), [/mm] dann ist $f$ in $z = [mm] z_0$ [/mm] als Potenzreihe entwickelbar mit Konvergenzradius [mm] $\ge [/mm] r$. Und wenn $r$ maximal gewaehlt war, dass [mm] $B_r(z_0) \subseteq [/mm] G$ ist (fuer festes $G$ und [mm] $z_0$), [/mm] dann ist der Konvergenzradius genau $r$.
Wenn ja, bist du damit ganz schnell fertig 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 11.09.2006 | | Autor: | xSina- |
| Aufgabe | | wie erkläre ich die vorgehnsweisen der taylorreihenentwicklung ? |
wie erkläre ich die vorgehnsweisen der taylorreihenentwicklung ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Di 12.09.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi,
zuerst einmal ein herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Taylorreihe approximiert sich an die ursprüngliche Funktion:
[mm] f(x)=f(x_{0})+\bruch{f'(x_{0})*(x-x_{0})}{1!}+\bruch{f''(x_{0})*(x-x_{0})^{2}}{2!}+.....
[/mm]
Das berühmteste Beispiel lautet:
f(x)=Sin(x) [mm] x_{0}=0
[/mm]
f(x)=Sin(x) f(0)=0
f'(x)=Cos(x) f'(0)=1
f''(x)=-Sin(x) f''(0)=0
f'''(x)=-Cos(x) f'''(0)=-1
f''''(x)=Sin(x) f''''(0)=0
f'''''(x)=Cos(x) f'''''(0)=1
daher also:
[mm] f(x)=x-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!}......
[/mm]
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte
Gruß
Stefan
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