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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 14.01.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und f(x) die Funktion mit f(x) := [mm] (x-a)^{n}.
[/mm]
Berechnen sie das erste, das zweite, das n-te und das n+1 -te Zaylorpolynom von f an der Stelle [mm] \delta [/mm] = 0 und schreiben sie f(x) jeweils als Summe aus dem Wert des Taylorpolynoms und dem Fehlerterm. |
Hallo zusammen,
ich stehe kurz vor meinen ersten Klausuren und brauche noch ein paar Punkte für die Zulassung. Deshalb würde ich mich freuen, wenn ihr mal über meine Ergebnisse schauen könntet und mich bestätigt oder berichtigt.
DANKE
[u] Also: [u]
Ich erhalte für die Taylorpolynome jeweils das gleiche Ergebnis, wie für f(x), da die Fehlerterme jeweils Null ergeben. Kann das stimmen? Oder hab ich irgendwas falsch verstanden?
( [mm] T_{1} [/mm] , [mm] \delta [/mm] f)(x) = -a = f(x)
( [mm] T_{2} [/mm] , [mm] \delta [/mm] f)(x) = a(1-2x) = f(x)
( [mm] T_{n} [/mm] , [mm] \delta [/mm] f)(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{i!} \bruch{n!}{(n-1)!} (-a)^{n-i} x^{i} [/mm] = f(x)
Bei ( [mm] T_{n+1}, \delta [/mm] f)(x) bekomme ich das selbe Ergebnis wie beim n-ten Taylorpolynom, da das n+1 -te "Glied" Null ergibt. Bei f(x) gilt entsprechend das Gleiche. Nur frage ich mich, ob eine solche Summe überhaupt möglich ist, da f doch nur n+1 diff.bar ist, aber im Fehlerterm die n+2 -te Ableitung auftritt. Meiner Meinung nach ist diese einfach gleich Null. Richtig?
Also könnt ihr mir helfen? Danke schon mal.
Gruß, Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 15.01.2006 | | Autor: | Scale |
Hallo,
Deine Taylorreihe ist fast richtig bis auf dass es n!/(n- i)! heißen muss.
Aber die einzelnen Ableitungen stimmen so nicht. Es ist z.B. [mm]f'(0)=n(-a)^{n-1}[/mm] und da wir dass n nicht kennen, ist es nicht gleich -a .
Die Reihe wird also erst für das n-t Taylorpolynom identisch zur Funktion, da wie du richtig bemerkt hast, die (n+1)-te Ableitung 0 ist. Das ist übrigens für Funktionen die selbst Polynome sind typisch, das man sie (reell analytisch) ohne Rest darstellen kann.
Allgemein darfst du die i-ten Polynome an einer Stelle [mm] \delta [/mm] nicht mit der Funktion f(x) verwechseln die ja für alle x im Definitionsbereich gültig ist, und nicht nur z.B. für x=0.
mfg, scale.
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