Taylorpolynom mit 2 Variablen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Do 03.03.2005 | | Autor: | ZoX |
Hallo
Ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, bei der man ein Taylorpolynom einer Funktion mit zwei Variablen angeben soll. Die Formel die ich zur Erzeugung des Polynoms habe, verstehe ich jedoch nicht, da sie sehr kompliziert und fast ohne Erklärung angegeben wurde. Ich suche also einen generellen Ansatz wie man Taylorpolynome mit zwei Variablen erzeugt. Im Internet habe ich leider nur Taylorentwicklungen für Funktionen mit einer Variablen gefunden (welche ich schon verstehe).
Am besten wäre es, wenn diese Entwicklung am Beispiel von [mm]x^y[/mm] im Punkt [mm](1,1)[/mm] erklärt werden würde. Natürlich brauche nicht die Lösung sondern nur eine Vorgehensweise.
Bitte um möglichst schnelle Antwort (ist leider dringend).
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Do 03.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Bis zu welchem Grad sollt ihr denn das Taylorpolynom entwickeln?
Die allgemeine Formel dafür sieht nämlich etwas "hässlich" aus (mit Multi-Indizes), das kann ich dir jetzt so schnell nicht vermitteln:
$f(z) = [mm] \sum\limits_{|\alpha|\le k} \frac{D^{\alpha}f(z_0)}{k!} \cdot (z-z_0)^{\alpha} [/mm] + [mm] \sum\limits_{|\alpha|=k+1} \frac{D^{\alpha}f(z_0 + \zeta \cdot (z-z_0))}{\alpha!} \cdot (z-z_0)^{k+1}$,
[/mm]
wobei [mm] $\alpha$ [/mm] ein Multiindex ist und [mm] $\zeta \cdot (z-z_0)$ [/mm] eine "Zwischenstelle" ist.
Bis zum Grad 2 kann man sich das Polynom aber noch schön hinschreiben:
$f(x,y) = [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0) [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot (y-y_0) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)^2 [/mm] + [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0) \cdot (y-y_0) [/mm] + + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)^2 [/mm] + [mm] \ldots$.
[/mm]
Willst du das mal für [mm] $f(x,y)=x^y$ [/mm] im Punkt [mm] $(x_0,y_0)=(1,1)$ [/mm] schnell bis dahin ausrechnen?
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 03.03.2005 | | Autor: | ZoX |
Vielen Dank!
Rechne gleich mal bis Grad 2 aus...
(Wir sollen es bis zum 3. Grad ausrechnen, aber diese Formel für den 2. Grad reicht mir schon völlig.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Do 03.03.2005 | | Autor: | ZoX |
Also ich habe für das Taylorpolynom 2. Grades für [mm]f(x,y) = x^y[/mm] im Punkt [mm](1,1)[/mm]:
[mm]T_2(x,y) = 1 + 1 \cdot (x-1) + 0 \cdot (y-1) + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (x-1)^2 + 1 \cdot (x-1) \cdot (y-1) + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (y-1)^2 = 1 + (x-1) + (x-1)(y-1)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, das Ergebnis kann ich bestätigen. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Die [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] steht deswegen bei dem gemischten Term, weil dieser ja zweimal vorkommt und beide Terme gleich sind (bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen gilt ja: "erst nach x, dann nach y ableiten = erst nach y, dann nach x ableiten").
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 03.03.2005 | | Autor: | ZoX |
Sollte vor das [mm]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)[/mm] nicht auch noch [mm]\frac{1}{2}[/mm]?
|
|
|
| |
|
Hallo,
das ist kein Fehler.
Die allgemeine Taylorformel in [mm]\IR^{n}[/mm] lautet:
[mm]T\left( x \right)\; = \;\sum\limits_{\rho \; = \;0}^{m} {\sum\limits_{\left| \alpha \right|\; = \;\rho } {\frac{1}
{{\alpha !}}\;\left( {x\; - \;x_{0} } \right)^{\alpha} \;\frac{{\partial ^\rho f}}
{{\partial x^\alpha }}} } \left( {x_{0} } \right)
[/mm]
,wobei [mm]x,\;x_{0} \; \in \IR^{n} [/mm]
und unter Verwendung von Multiindices :
[mm]\alpha \; = \;\left( {\alpha _{1} ,\; \ldots \;,\;\alpha _{n} } \right)\; \in \IN_{0} [/mm]
[mm]
\begin{gathered}
\alpha !\;: = \;\prod\limits_{i\; = \;1}^{n} {\alpha _{i} !} \hfill \\
\left| \alpha \right|\;: = \;\sum\limits_{i\; = \;1}^{n} {\alpha _{i} } \hfill \\
\frac{{\delta ^{\left| \alpha \right|} f}}
{{\delta x^{\alpha} }}\;: = \;\frac{{\partial ^{\left| \alpha \right|} f}}
{{\partial x_{1}^{\alpha _{1} } \ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n} } }} \hfill \\
\left( {x\; - \;x_{0} } \right)^{\alpha} \;: = \;\prod\limits_{i\; = \;1}^n {\left( {x_j \; - \;x_{0j} } \right)} ^{\alpha _{j} } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} [/mm]
obige Formel gilt.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
