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Taylorpolynom 3. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mo 15.07.2013
Autor: poeddl

Aufgabe
Es gilt f(0)=0
[mm] f'(x)=1+(f(x)^{2}) [/mm]

Bestimme das Taylorpolynom 3. Grades.

Hallo,

obige Aufgabe kam heute in meiner Analysis Klausur dran.
Wer von euch ist so gütig, und kann mir die richtige Lösung nennen?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Tausend Dank und noch einen schönen Abend!

Gruss poeddl

        
Bezug
Taylorpolynom 3. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Mo 15.07.2013
Autor: schachuzipus

Hallo poeddl,


> Es gilt f(0)=0
> [mm]f'(x)=1+(f(x)^{2})[/mm]

>

> Bestimme das Taylorpolynom 3. Grades.
> Hallo,

>

> obige Aufgabe kam heute in meiner Analysis Klausur dran.
> Wer von euch ist so gütig, und kann mir die richtige
> Lösung nennen?

Ich nehme an, die Entwicklungsstelle ist [mm]x_0=0[/mm] ...

Das kannst du schnell selber machen, ich gebe dir einen Start:

Die Formel für das TP 3.Grades kennst du sicher.

Du musst ja im Wesentlichen f und dessen Ableitungen an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] auswerten.

[mm]f(0)[/mm] hast du gegeben.

[mm]f'(0)[/mm] kannst du berechnen, hast du auch.

[mm]f''[/mm] kannst du aus [mm]f'[/mm] durch Ableiten berechnen (Kettenregel) - dann an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] auswerten.

Dann bestimme [mm]f'''[/mm] aus [mm]f''[/mm] - gleiches Prozedere ...


Versuch's mal erst selber, das kriegen wir schon gemeinsam hin ...

>

> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
> Tausend Dank und noch einen schönen Abend!

>

> Gruss poeddl

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom 3. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mo 15.07.2013
Autor: poeddl

Hallo!

Danke erstmal für deine Antwort.

Für f''(x) habe ich folgendes:

f''(x)=2*f(x)*f'(x)

Für f'''(x)=2f'(x)*f(x)+2f(x)*f'(x)

Ist das soweit korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom 3. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Mo 15.07.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hallo!

>

> Danke erstmal für deine Antwort.

>

> Für f''(x) habe ich folgendes:

>

> f''(x)=2*f(x)*f'(x)[ok]

>

> Für f'''(x)=2f'(x)*f(x)+2f(x)*f'(x)

Nein, Produktregel stimmt zwar, aber [mm]f'''(x)=\left[f''(x)\right]'=2\cdot{}\left[f'(x)\cdot{}f'(x)+f(x)\cdot{}f''(x)\right][/mm]

>

> Ist das soweit korrekt?

Halb ;-)

Nun nur noch zusammenschreiben ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynom 3. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Mo 15.07.2013
Autor: poeddl

Hallo,

dann sollte das Taylorpolynom
[mm] T_{3}(x)=x+\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] lauten?

Bezug
                                        
Bezug
Taylorpolynom 3. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Mo 15.07.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hallo,

>

> dann sollte das Taylorpolynom
> [mm]T_{3}(x)=x+\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] lauten? [applaus]

Das ist richtig!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Taylorpolynom 3. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 Mo 15.07.2013
Autor: poeddl

Vielen Dank für deine Hilfe!

Mist! In der Klausur hab ich den gleichen Fehler mit dem Ableiten gemacht und daher nur x als Taylorpolynom raus.

Bezug
        
Bezug
Taylorpolynom 3. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Di 16.07.2013
Autor: fred97

Andere Möglichkeit:

Die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems


$ [mm] f'(x)=1+(f(x)^{2}), \quad [/mm] f(0)=0 $

ist: [mm] $f(x)=\tan(x)$. [/mm]

Schaut man sich die Potenzreihenentwicklung von [mm] \tan [/mm] an, so sieht man: das gesuchte Polynom ist

     [mm] $x+1/3x^3$. [/mm]

FRED


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