Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Di 11.09.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Zu berechnen ist das Taylorpolynom zweiter Ordnung von [mm] f(x.y)=cos(xy)+x*e^{y-1} [/mm] im Punkt [mm] (x_0,y_0)=(\pi,1)
[/mm]
Das Ergebnis muss lauten: [mm] T_2(x,y)=-1+\bruch{\pi}{2}+2\pi^2-2\ix-(\pi+2\pi^2)y+\bruch{1}{2}x^2+(1+\pi)xy+\bruch{1}{2}(\pi+\pi^2)y^2 [/mm] |
Ich komme nicht ansatzweise an das Ergebnis. Ich rechne mal vor, vielleicht seht ihr wo es hier schief läuft.
[mm] f(\pi,1)=cos(\pi)+\pi*e^0= -1+\pi
[/mm]
[mm] f_x(x,y)=-ysin(xy)+e^{y-1}
[/mm]
[mm] f_x(\pi,1)=-sin(\pi]+e^0 [/mm] =1
[mm] f_{xx}(x,y)=-y^2*cos(xy)= [/mm] -1
[mm] f_y(x,y)=-x*sin(xy)+x*e^{y-1} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,y)=-x^2*cos(xy)+x*e^{y-1}= -\pi^2+\pi
[/mm]
[mm] f_{xy}(x,y)=x*cos(xy)+e^{y-1}=-\pi+1
[/mm]
Was stimmt hier nicht? Mit den Ableitungen komme ich einegsetzt nicht auf die Musterlösung.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zu berechnen ist das Taylorpolynom zweiter Ordnung von
> [mm]f(x.y)=cos(xy)+x*e^{y-1}[/mm] im Punkt [mm](x_0,y_0)=(\pi,1)[/mm]
>
> Das Ergebnis muss lauten:
> [mm]T_2(x,y)=-1+\bruch{\pi}{2}+2\pi^2-2\ix-(\pi+2\pi^2)y+\bruch{1}{2}x^2+(1+\pi)xy+\bruch{1}{2}(\pi+\pi^2)y^2[/mm]
> Ich komme nicht ansatzweise an das Ergebnis. Ich rechne
> mal vor, vielleicht seht ihr wo es hier schief läuft.
>
> [mm]f(\pi,1)=cos(\pi)+\pi*e^0= -1+\pi[/mm]
>
> [mm]f_x(x,y)=-ysin(xy)+e^{y-1}[/mm]
> [mm]f_x(\pi,1)=-sin(\pi]+e^0[/mm] =1
>
> [mm]f_{xx}(x,y)=-y^2*cos(xy)=[/mm] -1
So solltest Du das nicht schreiben (weiter unten genauso) und [mm] f(\pi,1)=-1 [/mm] ist falsch. Richtig:
[mm] f_{xx}(x,y)=-y^2*cos(xy) [/mm] , also [mm] f(\pi,1)=1
[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y)=-x*sin(xy)+x*e^{y-1}[/mm] = [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]f_{yy}(x,y)=-x^2*cos(xy)+x*e^{y-1}= -\pi^2+\pi[/mm]
>
> [mm]f_{xy}(x,y)=x*cos(xy)+e^{y-1}=-\pi+1[/mm]
Diese Ableitung ist falsch.
FRED
>
> Was stimmt hier nicht? Mit den Ableitungen komme ich
> einegsetzt nicht auf die Musterlösung.
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Di 11.09.2012 | | Autor: | heinze |
> > [mm]f_{xy}(x,y)=x*cos(xy)+e^{y-1}=-\pi+1[/mm]
>
> Diese Ableitung ist falsch.
Tatsächlich.
[mm] f_{xy}(x,y)=-xycos(xy)+e^{y-1}
[/mm]
[mm] f(\pi,1)=\pi+1
[/mm]
Aber auch mit diesen Ableitungen kommt man nicht auf die Musterlösung!
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> > > [mm]f_{xy}(x,y)=x*cos(xy)+e^{y-1}=-\pi+1[/mm]
> >
> > Diese Ableitung ist falsch.
>
> Tatsächlich.
>
> [mm]f_{xy}(x,y)=-xycos(xy)+e^{y-1}[/mm]
> [mm]f(\pi,1)=\pi+1[/mm]
>
> Aber auch mit diesen Ableitungen kommt man nicht auf die
> Musterlösung!
Rechne mal vor !
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Di 11.09.2012 | | Autor: | heinze |
Mit meinen Ableitungen erhalte ich:
[mm] T_2(x,y)=-1+\pi+1x+\piy+\bruch{1}{2}x^2+(\pi+1)xy+\bruch{1}{2}(\pi^2+1)y^2
[/mm]
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mit meinen Ableitungen erhalte ich:
>
> [mm]T_2(x,y)=-1+\pi+1x+\piy+\bruch{1}{2}x^2+(\pi+1)xy+\bruch{1}{2}(\pi^2+1)y^2[/mm]
Der Entwicklungspunkt ist doch $ [mm] (x_0,y_0)=(\pi,1) [/mm] $ !!!!
Ersetze also oben auf der rechten Seite jedes x durch (x- [mm] \pi) [/mm] und jedes y durch (y-1)
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Di 11.09.2012 | | Autor: | heinze |
Ah, das habe ich nicht beachtet. Danke für den Hinweis Fred! Ich habe vergessen das einzusetzen!
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Zu berechnen ist das Taylorpolynom zweiter Ordnung von
> > [mm]f(x.y)=cos(xy)+x*e^{y-1}[/mm] im Punkt [mm](x_0,y_0)=(\pi,1)[/mm]
> >
> > Das Ergebnis muss lauten:
> >
> [mm]T_2(x,y)=-1+\bruch{\pi}{2}+2\pi^2-2\ix-(\pi+2\pi^2)y+\bruch{1}{2}x^2+(1+\pi)xy+\bruch{1}{2}(\pi+\pi^2)y^2[/mm]
> > Ich komme nicht ansatzweise an das Ergebnis. Ich rechne
> > mal vor, vielleicht seht ihr wo es hier schief läuft.
> >
> > [mm]f(\pi,1)=cos(\pi)+\pi*e^0= -1+\pi[/mm]
> >
> > [mm]f_x(x,y)=-ysin(xy)+e^{y-1}[/mm]
> > [mm]f_x(\pi,1)=-sin(\pi]+e^0[/mm] =1
> >
> > [mm]f_{xx}(x,y)=-y^2*cos(xy)=[/mm] -1
>
>
> So solltest Du das nicht schreiben (weiter unten genauso)
> und [mm]f(\pi,1)=-1[/mm] ist falsch. Richtig:
>
> [mm]f_{xx}(x,y)=-y^2*cos(xy)[/mm] , also [mm]f(\pi,1)=1[/mm]
[mm] $$f_{\red{xx}}(\pi,1)=1$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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