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Taylorpolynom: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Fr 19.08.2011
Autor: RWBK

Aufgabe
Bestimme das Taylorpolynom vom Grad 2 der Funktion [mm] f(x)=ln(x^{2}-1). [/mm] Der Entwicklungspunkt ist x0=0


Hallo,

würde mich sehr freuen ob sich jemand meinen Rechenweg ansehen könnte und ggf. Verbesserungen vorschlagen kann.

Meine Vorgehensweise:

f(x)=ln ; [mm] f(0)=ln(0^{2}-1)=0 [/mm]
f´ (x)= [mm] \bruch{2x}{(x^{2}-1)} [/mm] ; [mm] f(0)=\bruch{2*0}{0^{2}-1}=0 [/mm]
f´´ [mm] (x)=\bruch{2*(-x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}}; f(0)=\bruch{2*(-0^{2}-1}{(0^{2}-1)^{2}};=-2 [/mm]

Mein Lösung wäre dann [mm] f(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}=-\bruch{x^{2}}{2} [/mm]

Muss ich hier noch ein Restglied angeben wenn ja wie sieht das aus?

mfg
        
Bezug
Taylorpolynom: Rückfrage zur Funktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Fr 19.08.2011
Autor: Diophant

Hallo,

soll die Funktionsvorschrift so aussehen:

[mm] f(x)=ln|x^2-1| [/mm]

?

In deiner Version wäre sie an der Stelle x=0 (im Reellen) gar nicht definiert...

Gruß, Diophant
Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:14 Fr 19.08.2011
Autor: RWBK

Nein die sollte genauso aussehen wie ich sie dort hingeschrieben habe.
Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Fr 19.08.2011
Autor: RWBK

Ah schon gut stimmt ln(-1) gibt es nicht.Hmm merkwürdig.Was mache ich nun.?
Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynom: negativer Wert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 Fr 19.08.2011
Autor: Roadrunner

Hallo RWBK!


Setze doch mal $x \ = \ 0$ ein. Damit ergäbe sich [mm] $\ln(-1) [/mm] \ = \ ???$ .


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Fr 19.08.2011
Autor: RWBK

War mir schon aufgefallen. Hatte die frage auch schon geändert. Was kann ich jetzt noch tun gar nichts oder?
Bezug
                                        
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Fr 19.08.2011
Autor: RWBK

Für [mm] ln(x^{2}+1) [/mm] wäre die aufgabe aber definiert. Vllt hat sich mein Prof. verschrieben. Von daher löse ich die aufgabe jetzt noch für meine abgewandelte aufgabe.

[mm] f(x)=ln(x^{2}+1) [/mm] ; [mm] f(0)=ln(0^{2}+1)=1 [/mm]
f´ [mm] (x)=\bruch{2x}{x^{2}+1} [/mm] ; [mm] f(0)=\bruch{2*0}{0^{2}+1}=0 [/mm]
f´´ [mm] (x)=\bruch{2*(-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}; f(0)=\bruch{2*(-0^{2}+1}{(0^{2}+1)^{2}}=2 [/mm]
Die Lösung müsste dann meiner Meinung nach  [mm] f(x)=1+\bruch{x^{2}}{2} [/mm] sein oder? Wie sieht das restglied aus und wie bestimem ich das ?

mfg
RWBK
Bezug
                                                
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Fr 19.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo RWBK,


> Für [mm]ln(x^{2}+1)[/mm] wäre die aufgabe aber definiert. Vllt hat
> sich mein Prof. verschrieben. Von daher löse ich die
> aufgabe jetzt noch für meine abgewandelte aufgabe.
>  
> [mm]f(x)=ln(x^{2}+1)[/mm] ; [mm]f(0)=ln(0^{2}+1)=1[/mm] [notok]

Was ist denn bitte [mm]\ln(1)[/mm] ?

>  f´ [mm](x)=\bruch{2x}{x^{2}+1}[/mm] ; [mm]f(0)=\bruch{2*0}{0^{2}+1}=0[/mm] [ok]
>  f´´ [mm](x)=\bruch{2*(-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}; f(0)=\bruch{2*(-0^{2}+1}{(0^{2}+1)^{2}}=2[/mm] [ok]

Du solltest die Ableitungsstriche mit dem Strich auf der Rautetaste machen, also "Shift + #".

Sonst werden sie nicht angezeigt!


>  
> Die Lösung müsste dann meiner Meinung nach  
> [mm]f(x)=1+\bruch{x^{2}}{2}[/mm] sein oder?

Nein! Die 1 ist falsch, das hatten wir ja ganz oben, aber wie kommst du auf [mm]\frac{x^2}{2}[/mm] ??

Da steht doch in diesem Summanden [mm]\frac{f''(0)}{2!}\cdot{}x^2=\frac{2}{2!}\cdot{}x^2=x^2[/mm]

> Wie sieht das restglied
> aus und wie bestimem ich das ?

Es gibt so einige Restgliedformen, welche habt ihr kennengelernt?

Schreibe mal auf, wie ihr "Taylorpolynom der Ornung k" definiert habt.

Da sollte doch was von Restglied stehen ...

> mfg
>  RWBK

Gruß

schachuzipus

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