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Taylorpolynom?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Mi 08.06.2011
Autor: Igor1

Aufgabe
Berechnen Sie näherungsweise [mm] 1,1^{0,8} [/mm] nur durch Auswertung von Polynomen, und beurteilen Sie, wie falsch ihr Ergebnis höchstens sein kann.

Hallo,

ich vermute relativ stark, dass man Taylorpolynom benutzen soll.
Ich weiß jedoch nicht so genau , welchen Zusammenhang Taylorpolynom mit
[mm] 1,1^{0,8} [/mm] hat.
Wenn man eine Funktion "taylorn" sollte, dann ist klar.
Heisst das , dass [mm] 1,1^{0,8} [/mm] ein Funktionswert einer Funktion ist, die man zuerst "taylorn" sollte?


Gruss
Igor



        
Bezug
Taylorpolynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Mi 08.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Igor1,

> Berechnen Sie näherungsweise [mm]1,1^{0,8}[/mm] nur durch
> Auswertung von Polynomen, und beurteilen Sie, wie falsch
> ihr Ergebnis höchstens sein kann.
>  Hallo,
>  
> ich vermute relativ stark, dass man Taylorpolynom benutzen
> soll.
>  Ich weiß jedoch nicht so genau , welchen Zusammenhang
> Taylorpolynom mit
> [mm]1,1^{0,8}[/mm] hat.
>  Wenn man eine Funktion "taylorn" sollte, dann ist klar.
> Heisst das , dass [mm]1,1^{0,8}[/mm] ein Funktionswert einer
> Funktion ist, die man zuerst "taylorn" sollte?
>  


Genau so ist es.


>
> Gruss
>  Igor
>  


Gruss
MathePower  

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Taylorpolynom?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Mi 08.06.2011
Autor: Igor1

Hallo,

hhmm, wie könnte die Funktion aussehen?
Z.B Exponential Funktion zur Basis 1.1 ?
Oder gibt es was einfacheres?

Gruss
Igor

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Bezug
Taylorpolynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mi 08.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Igor1,

> Hallo,
>  
> hhmm, wie könnte die Funktion aussehen?
>  Z.B Exponential Funktion zur Basis 1.1 ?
>  Oder gibt es was einfacheres?


Die Funktion kann z.B. so aussehen: [mm]\left(1+x\right)^{0.8}[/mm]


>  
> Gruss
>  Igor


Gruss
MathePower

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Taylorpolynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Mi 08.06.2011
Autor: ullim

Hi,

nimm die Funktion [mm] f(x)=x^\alpha [/mm] und entwickle diese in ein Taylorpolynom, z.B. 1'ter Ordnung und benutzte die Lagrange Restgliedformel.

Entwickle die Funktion um [mm] x_0=1 [/mm] und an der Stelle [mm] x_1=1.1 [/mm] mit [mm] \alpha=0.8 [/mm]

Z.B.

[mm] f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0)*(x_1-x_0)+f''(\xi)*\bruch{(x_1-x_0)^2}{2} [/mm] mit [mm] \xi\in[x_, x_1] [/mm]

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Taylorpolynom?: zur Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Do 09.06.2011
Autor: Igor1

Hallo,

ich habe folgendes raus :

[mm] f(1,1)=1+0.8+0.8(0.8-1)*\xi ^{-1,2}*\bruch{(0,1)^{2}}{2}= [/mm]
1,08 + R  mit [mm] R=-0,0008*\xi^{-1,2} [/mm]

Da man R als eine monotone wachsende Funktion in Abhängigkeit von [mm] \xi [/mm] auffassen kann, nimmt sie ein Minimum in 1 und ein Maximum in 1,1 an.
D.h  -0.0008 [mm] \le [/mm] R [mm] \le -0,0008*\bruch{1}{1,1^{1,2}} [/mm] < 0.

Also wichtig ist, dass die Differenz (Fehler) höchstens -0,0008 sein wird.

Ist das richtig?


Ich verstehe hinter Aufgabe stehende Idee so, dass man eigentlich nicht weiß, welcher konkreter Wert [mm] \xi [/mm] ist , und deshalb man kann nur R abschätzen und nicht genau bestimmen.

Stimmt das ?


Gruss
Igor





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Taylorpolynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:31 Fr 10.06.2011
Autor: ullim

Hi,

> Hallo,
>  
> ich habe folgendes raus :
>
> [mm]f(1,1)=1+0.8+0.8(0.8-1)*\xi ^{-1,2}*\bruch{(0,1)^{2}}{2}=[/mm]

da mus 0.08 stehen so wie in der drauffolgenden Zeile von Dir.

> 1,08 + R  mit [mm]R=-0,0008*\xi^{-1,2}[/mm]
>  
> Da man R als eine monotone wachsende Funktion in
> Abhängigkeit von [mm]\xi[/mm] auffassen kann, nimmt sie ein Minimum
> in 1 und ein Maximum in 1,1 an.

OK

>  D.h  -0.0008 [mm]\le[/mm] R [mm]\le -0,0008*\bruch{1}{1,1^{1,2}}[/mm] < 0.
>  
> Also wichtig ist, dass die Differenz (Fehler) höchstens
> -0,0008 sein wird.
>  
> Ist das richtig?

Der Fehler ist auf jeden fall kleiner als das grösste |R| und da gilt [mm] |R|\le\left|-0,0008*\xi^{-1,2}\right|=0.0008 [/mm]

>
> Ich verstehe hinter Aufgabe stehende Idee so, dass man
> eigentlich nicht weiß, welcher konkreter Wert [mm]\xi[/mm] ist ,
> und deshalb man kann nur R abschätzen und nicht genau
> bestimmen.
>  
> Stimmt das ?

Ja



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