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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 29.05.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie von den folgenden drei Funtkionen das Taylorpolynom dritten Grades. Der Entwicklungspunkt sei hierbei immer x=0:
a) f(x)= [mm] \bruch{1}{1+e^{x}}
[/mm]
b) f(x)= tan(x)
c) f(x)= [mm] e^{e^{x}}
[/mm]
Bemerkung: Der Definitionsbereich der Funktion aus Aufgabe 2 sei maximal in [mm] \IR [/mm] gewählt und der Wertebereich sei immer [mm] \IR [/mm] |
Hallo!
Wir haben alle drei Taylorpolynome berechnet. Allerdings wissen wir nicht, ob wir jetzt zusätlich noch die Restglieder angeben müssen. Könnte uns jemand etwas dazu sagen?
Unsere Ergebnisse sind bisher:
a) [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x+\bruch{5}{192}x^{3}
[/mm]
b) [mm] x+\bruch{1}{3}x^{3}
[/mm]
c) [mm] e+ex+ex^{2}+\bruch{4e+1}{6}x^{3}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo summer00,
> Bestimmen Sie von den folgenden drei Funtkionen das
> Taylorpolynom dritten Grades. Der Entwicklungspunkt sei
> hierbei immer x=0:
> a) f(x)= [mm]\bruch{1}{1+e^{x}}[/mm]
> b) f(x)= tan(x)
> c) f(x)= [mm]e^{e^{x}}[/mm]
> Bemerkung: Der Definitionsbereich der Funktion aus Aufgabe
> 2 sei maximal in [mm]\IR[/mm] gewählt und der Wertebereich sei
> immer [mm]\IR[/mm]
> Hallo!
>
> Wir haben alle drei Taylorpolynome berechnet. Allerdings
> wissen wir nicht, ob wir jetzt zusätlich noch die
> Restglieder angeben müssen. Könnte uns jemand etwas dazu
> sagen?
Hmm, in der Aufgabe steht nur "Taylorpolynom" angeben, also würde ich sagen ohne Restglied
Bedenke aber, dass gilt $f(x)=Taylorpolynom + Restglied$
Das Restglied ist also der Fehler in der Näherung durch das TP an f
>
> Unsere Ergebnisse sind bisher:
>
> a) [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}x+\red{\bruch{5}{192}}x^{3}[/mm]
Der letzte Koeffizient ist falsch, rechne nochmal nach!
> b) [mm]x+\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> c) [mm]e+ex+ex^{2}+\red{\bruch{4e+1}{6}}x^{3}[/mm]
Auch hier ist der letze Koeffizient nicht richtig
Schreibe doch mal jeweils für (a) und (c) deine 3. Ableitung auf, dann kann man sehen, ob's nur ein Rechenfehler ist oder ob die Ableitung falsch ist ;_)
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Do 29.05.2008 | | Autor: | summer00 |
Danke für die schnelle Antwort.
Wir haben jetzt nochmal gerechnet und bekommen für a als letzen Term heraus: [mm] \bruch{-47}{256}x^{3}
[/mm]
die dritte Ableitung haben wir als:
[mm] \bruch{(-e^{x}+3e^{3x}*(1+e^{x})^{4})-((-e^{x}+e^{3x})*4(1+e^{x})^{3}*e^{x})}{(1+e^{x})^{8}}
[/mm]
bei der c haben wir als dritten Term [mm] \bruch{5ex^{3}}{6}.
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Danke für die schnelle Antwort.
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> Wir haben jetzt nochmal gerechnet und bekommen für a als
> letzen Term heraus: [mm]\bruch{-47}{256}x^{3}[/mm]
Hmm, ich komme da auf [mm] $\frac{1}{48}x^3$
[/mm]
> die dritte Ableitung haben wir als:
>
> [mm]\bruch{(-e^{x}+3e^{3x}*(1+e^{x})^{4})-((-e^{x}+e^{3x})*4(1+e^{x})^{3}*e^{x})}{(1+e^{x})^{8}}[/mm]
Da komme ich auf [mm] $f'''(x)=-\frac{e^x\cdot{}(e^{2x}-4e^x+1)}{(e^x+1)^4}$
[/mm]
Also [mm] $f'''(0)=-\frac{1(1-4+1)}{(1+1)^4}=\frac{2}{2^4}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
[/mm]
Das verpackt mit dem [mm] $\frac{\frac{1}{8}}{3!}$ [/mm] aus der Taylorformel ergibt [mm] $\frac{1}{48}$
[/mm]
>
> bei der c haben wir als dritten Term [mm]\bruch{5ex^{3}}{6}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Fr 30.05.2008 | | Autor: | summer00 |
Ah! Vielen DanK!
Wir haben nun endlich den Fehler gefunden. Wir haben die selbe Ableitung, wie du, hatten nur die KLammerung falsch und somit die Werte total verhauen. Aber jetzt kommen wir auch auf den richtigen Wert. Merci!
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