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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe hier zwei Funktionen gegeben zum einen [mm] f:\IR\to\IR, x\mapsto x^{5}-x [/mm] und als zweites [mm] g:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] sin(2x)
und für diese Funktionen sollen nun die Taylorpolynome [mm] T_{5}(f,x,1) [/mm] und [mm] T_4(g,x,\bruch{\pi}{4}) [/mm] sowie die zugehörigen Restglieder berechnet werden!
Hab da jetzt mal für beide gemacht, zumindest die Taylorpolynomrechnung und folgendes erhalten:
also zunächst hab ich die Ableitungen gemacht und 1 fürs x eingesetzt:
f(x) = [mm] x^{5}-x \to [/mm] f(1) = 0
f´(x) = [mm] 5x^{4}-1 \to [/mm] f'(1) = 4
f´´(x) = [mm] 20x^{3} \to [/mm] f''(1) = 20
f´´´(x) = [mm] 60x^{2} \to [/mm] f´´´(1) = 60
f´´´´(x) = 120x [mm] \to [/mm] f´´´´(1) = 120
f´´´´´(x) = 120 [mm] \to [/mm] f´´´´´(1) = 120
wenn ich dies in die Taylorformel einsetzte und ausmultipliziere, erhalte ich wieder [mm] x^{5}-x [/mm] ? stimmt das?
bei der g(x) gehe ich genauso vor und erhalte am Schluss komisches:
= [mm] \bruch{2}{3}x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}\pi*x^{3} -\bruch{1}{4}\pi^2 *x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{24}\pi^3*x +1-\bruch{\pi}{4} [/mm] - [mm] \bruch{\pi^{2}}{32} [/mm] + [mm] \bruch{2\pi^{4}}{768}
[/mm]
weiss jedoch nicht ob dies hier stimmt! außerdem weiss ich nicht wie man auf die Restglieder kommt?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Du darfst das Polynom nicht ausmultiplizieren. Das ist ja selbstverständlich, dass bei einer ganzrationalen Funktion auch wieder dasselbe herauskommt.
Du sollst hier die Form $f(x) \ = \ [mm] a*(x-1)^0+b*(x-1)^1+c*(x-1)^2+...$ [/mm] erzeugen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
alos lasse ich stehen:
4(x-1) [mm] +10(x-1)^{2} +10(x-1)^{3} +5(x-1)^{4} +1(x-1)^{5}
[/mm]
oder?
und wie komme ich dann auf das zugehörige Restglied?
lg und danke Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
> alos lasse ich stehen:
>
> 4(x-1) [mm]+10(x-1)^{2} +10(x-1)^{3} +5(x-1)^{4} +1(x-1)^{5}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> und wie komme ich dann auf das zugehörige Restglied?
Gibt es denn ein Restglied? Du hast ja selber festgestellt, dass durch Ausmultiplizieren die Ausgangsfunktion entsteht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ok es gibt kein restglied! normalerweise wird dies doch mithilfe der in diesem falle sechsten ableitung bestimmt und diese ist ja gleich Null, also gibt es kein restglied!
wie ist das bei meinem zweiten beispiel?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Auch hier nicht ausmultiplizieren, sondern in der Form $g(x) \ = \ [mm] a*\left(x-\bruch{\pi}{4}\right)^0+b*\left(x-\bruch{\pi}{4}\right)^1+c*\left(x-\bruch{\pi}{4}\right)^2+...$ [/mm] darstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ok dann hätte ich ja:
g(x) = [mm] 1-\bruch{1}{2}(x-\bruch{\pi}{4})^{2} +\bruch{2}{3}(x-\bruch{\pi}{4})^{4}
[/mm]
und wie komme ich hier zum restglied?
lg Surfer und danke für deine hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Ich erhalte vor der ersten Klammer aber $-2_$ .
Für das Restglied [mm] $R_n(x)$ [/mm] gilt ![[]](/images/popup.gif) folgende Formel:
[mm] $$R_n(x) [/mm] \ = \ [mm] \integral_{a}^{x}{\bruch{(x-t)^n}{n!}*f^{(n+1)}(t) \ dt}$$
[/mm]
Hier gilt also $a \ = \ [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm] sowie $n \ = \ 5$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok also ich habe jetzt folgende Formel genommen:
[mm] R_n (x)=\bruch{f^{n+1}*(\varepsilon)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}
[/mm]
für die fünfte Ableitung erhalte ich ja f´´´´´(x)= -32cos(2x) das gibt mit [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] eingesetzt [mm] f````´(\bruch{\pi}{4})= [/mm] 0
wenn ich dies jetzt in meine Formel zur Restgliedbestimmung einsetzte erhalte ich: [mm] R_n [/mm] (x)= [mm] \bruch{0*(\varepsilon)}{5!}*(x- \bruch{\pi}{4})^{5}
[/mm]
oder stimmt hier mal wieder was nicht?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Da wir hier bereits [mm] $T_{\red{5}}(x)$ [/mm] berechnet haben, musst Du für das Restglied die 6. Ableitung verwenden (denn aus $n \ = \ 5$ folgt auch $n+1 \ = \ 6$ !).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
aber bei dieser aufgabe ist doch [mm] T_4 [/mm] zu bestimmen,das habe ich ja auch gemacht, dann muss ich doch zur bestimmung vom restglied nur noch die 5 ableitung machen! ein grad höher als das polynom oder?
siehe Aufgabenstellung oben!
lg Surfer
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Hallo Surfer,
ja du hast Recht , s. meinen anderen post, das war ein bissl zuviel Gas gegeben von Loddar 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Okay, das hatte ich überlesen. Ich dachte, beide Aufgaben sollen bis zum 5. Glied berechnet werden ... so kann es halt gehen mit mehreren unterschiedlichen Aufgaben in einen Thread.
Gruß
Loddar
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Hallo Surfer,
entgegen Loddars Ansicht, bin ich der Meinung, in der Aufgabenstellung steht, dass du für die Funktion g das Taylorpolynom 4-Ordnung, also [mm] $T_4$ [/mm] berechnen sollst, und folglich die (4+1)te=5te Ableitung brauchst
> Ok also ich habe jetzt folgende Formel genommen:
>
> [mm]R_n (x)=\bruch{f^{n+1}*(\varepsilon)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}[/mm]
Hier ist gemeint: die (n+1)te Ableitung an der Stelle [mm] \varepsilon, [/mm] nicht "mal" !!
Also [mm] $f^{(n+1)}(\varepsilon)$
[/mm]
Das [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist aus dem (offenen) Intervall $(a,x)$
>
> für die fünfte Ableitung erhalte ich ja f´´´´´(x)=
> -32cos(2x) das gibt mit [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
Hier ist das "-" zuviel, es ist [mm] $\sin^{(5)}(2x)=32\cos(2x)$
[/mm]
> eingesetzt ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nicht einsetzen!
> [mm]f''''´(\bruch{\pi}{4})=[/mm] 0
>
> wenn ich dies jetzt in meine Formel zur Restgliedbestimmung
> einsetzte erhalte ich: [mm]R_n[/mm] (x)=
> [mm]\bruch{0*(\varepsilon)}{5!}*(x- \bruch{\pi}{4})^{5}[/mm]
>
> oder stimmt hier mal wieder was nicht?
Das Restglied [mm] $R_5$ [/mm] ist also [mm] $\frac{32\cos(\varepsilon)}{5!}\cdot{}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^5$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon\in \left(\frac{\pi}{4},x\right)$
[/mm]
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
und was passiert mit den 2x aus der Klammer? die werden durch das [mm] \varepsilon [/mm] ersetzt?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mi 21.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
genauer muss da [mm] 2\epsilon [/mm] stehen, einfach der fktswert an einer geeigneten Stelle im Intervall.
Gruss leduart
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