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| Aufgabe | | Berechnen Sie das zweite Taylorpolynom zu f(x) = [mm] x^{4}-2x^{3}+3 [/mm] bei [mm] x_{0} [/mm] = 1! |
Das habe ich gemacht!
[mm] P_{2}(x) [/mm] = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^{1} [/mm] + [mm] \bruch{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}
[/mm]
= -4 + [mm] \bruch{(-2)}{1!}(x-1)^{1} [/mm] + [mm] \bruch{0}{2!}(x-1)^{2}
[/mm]
= -4 + [mm] (-2)(x-1)^{1} [/mm] + [mm] 0(x-1)^{2}
[/mm]
= -4 + (-2x+2)
= -2x-2
Ist das so richtig? Ich bin mir bei der zweiten Ableitung nicht sicher.
Wie genau schreibt man das Taylorpolynom auf? Lässt man -4 + [mm] (-2)(x-1)^{1} [/mm] + [mm] 0(x-1)^{2} [/mm] stehen oder rechnet es man noch bis zum Schluss aus? Oder ist das völlig egal?
Danke!
Lg
Ich habe diese Aufgaben in keinem anderen Foren gestellt.
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Hallo!
> Berechnen Sie das zweite Taylorpolynom zu f(x) =
> [mm]x^{4}-2x^{3}+3[/mm] bei [mm]x_{0}[/mm] = 1!
> Das habe ich gemacht!
>
> [mm]P_{2}(x)[/mm] = [mm]f(x_{0})[/mm] + [mm]\bruch{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}[/mm]
>
> = -4 + [mm]\bruch{(-2)}{1!}(x-1)^{1}[/mm] + [mm]\bruch{0}{2!}(x-1)^{2}[/mm]
> = -4 + [mm](-2)(x-1)^{1}[/mm] + [mm]0(x-1)^{2}[/mm]
> = -4 + (-2x+2)
> = -2x-2
>
> Ist das so richtig? Ich bin mir bei der zweiten Ableitung
> nicht sicher.
Also, die zweite Ableitung ist [mm] f''(x)=12x^2-12x. [/mm] Damit gilt dann in der Tat f''(1)=0 und somit fällt der ganze Term weg. Allerdings hast du dich wohl bei f(1) verrechnet, ich erhalte da: [mm] f(1)=1-2+3=2\not=-4. [/mm] Damit erhältst du dann am Ende 4-2x.
Allerdings ist das eine seltsame Aufgabe, denn wenn der Term zweiter Ordnung wegfällt, ist das ja das gleiche, als wenn man nur das erste Taylorpolynom berechnen würde. Aber ist entweder ein Fehler in der Aufgabenstellung oder Absicht. 
> Wie genau schreibt man das Taylorpolynom auf? Lässt man -4
> + [mm](-2)(x-1)^{1}[/mm] + [mm]0(x-1)^{2}[/mm] stehen oder rechnet es man
> noch bis zum Schluss aus? Oder ist das völlig egal?
Ich würde es bis zum Ende ausrechnen. Das heißt, wenn du einen Term hättest [mm] (x-1)^4 [/mm] oder so, dann kannst du das ruhig so stehen lassen, aber alles was wegfällt, weil es mit 0 multipliziert wird, würde ich auf jeden Fall wegschmeißen. Und das Ganze so zusammenschreiben, dass es nach Polynom aussieht, also so weit möglich die einzelnen Potenzen von x zusammenfassen. Und Klammern "hoch 1" ist ja eh unsinnig, da kann man den Exponenten auch weglassen und die Klammer auflösen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der Funktion x [mm] \mapsto \wurzel[3]{1000+x} [/mm] und bestimmen Sie damit nährungsweise [mm] \wurzel[3]{1001} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{999.3}. [/mm] |
Immer diese blöden Rechenfehlter. Aber danke für die Korrektur. Dann hab ich das Prinzip ja verstanden.
Aber nun zu dieser Aufgabe:
Also Imprinzip das gleiche wie vorhin. Aber irgendwie fehlt mir das [mm] x_{0} [/mm] oder sollen das [mm] \wurzel[3]{1001} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{999.3} [/mm] sein?
Das kann ich mir aber nicht vorstellen.
Wenn ich mir also nun [mm] x_{0} [/mm] = 0 wähle dann erhalte ich das folgende Taylorpolynom:
[mm] P_{2}(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{900000}x^{2}+\bruch{1}{300}x+10
[/mm]
Ist das nun richtig? Oder muss ich das für [mm] x_{0} [/mm] = 1 bestimmen? Gibt es da eine Grundregel. Z.B. ist [mm] x_{0} [/mm] immer 0, wenn nichts anderes vorgegeben ist?
Danke!
Lg
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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> Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der Funktion
> x [mm]\mapsto \wurzel[3]{1000+x}[/mm] und bestimmen Sie damit
> nährungsweise [mm]\wurzel[3]{1001}[/mm] und [mm]\wurzel[3]{999.3}.[/mm]
> Immer diese blöden Rechenfehlter. Aber danke für die
> Korrektur. Dann hab ich das Prinzip ja verstanden.
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> Aber nun zu dieser Aufgabe:
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> Also Imprinzip das gleiche wie vorhin. Aber irgendwie fehlt
> mir das [mm]x_{0}[/mm] oder sollen das [mm]\wurzel[3]{1001}[/mm] und
> [mm]\wurzel[3]{999.3}[/mm] sein?
> Das kann ich mir aber nicht vorstellen.
> Wenn ich mir also nun [mm]x_{0}[/mm] = 0 wähle dann erhalte ich das
> folgende Taylorpolynom:
> [mm]P_{2}(x)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{900000}x^{2}+\bruch{1}{300}x+10[/mm]
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> Ist das nun richtig?
Hallo,
das ist richtig.
> Oder muss ich das für [mm]x_{0}[/mm] = 1
> bestimmen?
Nein, der Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] ist hier völlig richtig in Anbetracht dessen, was Du als nächstes damit tun sollst, nämlich das näherungsweise Berechnen der beiden Wurzeln, also f(-0.7) und f(1). Du solltest ja nur ein Taylorpolynom aufstellen, da ist es naheliegend, einen Entwicklungspunkt zu nehmen, der für beises befriedigende Ergebnisse erwarten läßt.
Hattest Du eine Näherung für [mm] \wurzel[3]{2000} [/mm] und für [mm] \wurzel[3]{2007}gesucht, [/mm] hättest Du sicher einen anderen Entwicklungspunkt gewählt.
Gruß v. Angela
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