Taylorpolynom...Restglied? O.o < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:01 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Hallöchen,
ich habe hier eine Aufgabe, wo ich das Taylorpolynom T(x) zum Grad 4 bestimmen soll. Und das an folgender Funktion:
[mm] f(x)=\ln(x^{2})+3(x-2)^{2}
[/mm]
Bei dem Eumel löse ich erstmal die Klammern auf und berechne meine 4 Ableitungen:
Funktion, aufgelöst:
f(x) = [mm] \ln(x^{2})+3*x^{2}-12*x+12
[/mm]
1. Ableitung
f'(x) = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] + 6*x - 12
2. Ableitung
f''(x) = [mm] \bruch{-2}{x^{2}} [/mm] + 6
3. Ableitung
f'''(x) = [mm] \bruch{4}{x^{3}}
[/mm]
4. Ableitung
f''''(x) = [mm] \bruch{-12}{x^{4}}
[/mm]
Nun kann ich die Taylorreihe für meine x0 = 1 bestimmen und erhalte:
[mm] T(x)=3-4*(x-1)+2*(x-1)^{2}+\bruch{2}{3}*(x-1)^{3}-\bruch{1}{2}*(x-1)^{4}
[/mm]
Bis dahin hab ich auch alles richtig. Meine Lösung stimmt mit der aus der Musterlösung überein ...
Aaaaber, in der Musterlösung steht hinter dem Ganzen noch folgendes:
[mm] +O((x-1)^{5})
[/mm]
Komplett ausgedrückt also:
[mm] T(x)=3-4*(x-1)+2*(x-1)^{2}+\bruch{2}{3}*(x-1)^{3}-\bruch{1}{2}*(x-1)^{4}+O((x-1)^{5})
[/mm]
Ab hier jetzt meine Frage ... Ich habe absolut keine Ahnung, was es sich mit dem Apperat da hinten auf sich hat. Ich denke, es wird das Restglied sein?
Könnte mir jemand den Sinn davon erklären und wie ich sowas berechne und was ich generell dabei beachten muss? Alles was für die Berechnung davon irgendwie wichtig ist, fände ich interessant...
Konkreter gesagt ... Ich hab das Taylorpolynom bestimmt, hab danach aber keine Ahnung mehr, wie ich das Restglied bestimme/berechne
Aus den Scripten meines Profs werde ich leider nicht sooo schlau, daher würde ich mich über hilfreiche Tipps und Erklärungen freuen.
Liebe Grüße
der Andi
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> Hallöchen,
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> ich habe hier eine Aufgabe, wo ich das Taylorpolynom T(x)
> zum Grad 4 bestimmen soll. Und das an folgender Funktion:
>
> [mm]f(x)=\ln(x^{2})+3(x-2)^{2}[/mm]
>
> Bei dem Eumel löse ich erstmal die Klammern auf und
> berechne meine 4 Ableitungen:
>
> Funktion, aufgelöst:
> f(x) = [mm]\ln(x^{2})+3*x^{2}-12*x+12[/mm]
>
> 1. Ableitung
> f'(x) = [mm]\bruch{2}{x}[/mm] + 6*x - 12
>
> 2. Ableitung
> f''(x) = [mm]\bruch{-2}{x^{2}}[/mm] + 6
>
> 3. Ableitung
> f'''(x) = [mm]\bruch{4}{x^{3}}[/mm]
>
> 4. Ableitung
> f''''(x) = [mm]\bruch{-12}{x^{4}}[/mm]
>
> Nun kann ich die Taylorreihe für meine x0 = 1 bestimmen und
> erhalte:
>
> [mm]T(x)=3-4*(x-1)+2*(x-1)^{2}+\bruch{2}{3}*(x-1)^{3}-\bruch{1}{2}*(x-1)^{4}[/mm]
>
> Bis dahin hab ich auch alles richtig. Meine Lösung stimmt
> mit der aus der Musterlösung überein ...
>
> Aaaaber, in der Musterlösung steht hinter dem Ganzen noch
> folgendes:
> [mm]+O((x-1)^{5})[/mm]
>
> Komplett ausgedrückt also:
>
> [mm]\red{T(x)}=3-4*(x-1)+2*(x-1)^{2}+\bruch{2}{3}*(x-1)^{3}-\bruch{1}{2}*(x-1)^{4}+O((x-1)^{5})[/mm]
Diese Schreibweise für das Taylorpolynom vom 4. Grad ist meiner unmassgeblichen Meinung nach streng genommen falsch. Richtiger sollte folgendes geschrieben werden:
[mm]\red{f(x)}=3-4*(x-1)+2*(x-1)^{2}+\bruch{2}{3}*(x-1)^{3}-\bruch{1}{2}*(x-1)^{4}\red{+O((x-1)^{5})}[/mm]
Der zentrale Unterschied ist, dass hier auf der linken Seite $f(x)$ steht: daher kann man auf der rechten Seite der behaupteten Gleichheit nicht nur das Taylorpolynom hinschreiben, da $f(x)$ mit seinem Taylorpolynom vom 4. Grad gewiss nicht identisch ist (auch nicht in einer hinreichend kleinen Umgebung von $x=1$).
> Ab hier jetzt meine Frage ... Ich habe absolut keine
> Ahnung, was es sich mit dem Apperat da hinten auf sich hat.
> Ich denke, es wird das Restglied sein?
Richtig.
Das Restglied [mm] $\mathrm{O}\big((x-1)^5\big)$ [/mm] ergibt sich aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung: es ist hier nötig, weil $f(x)$ ja keineswegs eine Polynomfunktion vom 4. Grad ist.
Das Taylorpolynom vom 4. Grad $T(x)$ ist, wie Du richtig angenommen hast, nur gerade dies
[mm]T(x)=3-4*(x-1)+2*(x-1)^{2}+\bruch{2}{3}*(x-1)^{3}-\bruch{1}{2}*(x-1)^{4}[/mm]
Hier fehlt das Restglied [mm] $\mathrm{O}\big((x-1)^5\big)$, [/mm] dafür behaupten wir auch nicht, dass es sich um eine Darstellung von $f(x)$ (für $x$ in einer geeigneten Umgebung des Entwicklungspunktes $x=1$) handelt.
(In der Regel würde man aber $T(x)$ noch mit einem Hinweis auf $f$ und seinen Grad versehen - der Grad eines Taylorpolynoms ist ja nicht notwendigerweise direkt an seinem Grad als Polynomfunktion ablesbar: weil sein höchstes Glied den Koeffizienten $0$ haben kann.)
Allenfalls könnte man schreiben:
[mm]f(x)\;\red{\approx}\; 3-4*(x-1)+2*(x-1)^{2}+\bruch{2}{3}*(x-1)^{3}-\bruch{1}{2}*(x-1)^{4}[/mm]
weil man das Taylorpolynom vom 4. Grad als eine (mehr oder weniger gute, mehr oder weniger schlechte) Approximation von $f(x)$ auffassen kann.
> Könnte mir jemand den Sinn davon erklären und wie ich sowas
> berechne und was ich generell dabei beachten muss?
> Alles
> was für die Berechnung davon irgendwie wichtig ist, fände
> ich interessant...
>
> Konkreter gesagt ... Ich hab das Taylorpolynom bestimmt,
> hab danach aber keine Ahnung mehr, wie ich das Restglied
> bestimme/berechne
Das Restglied [mm] $\mathrm{O}\big((x-1)^5\big)$ [/mm] ist gleich [mm] $\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}(\xi-1)^5$ [/mm] für ein [mm] $\xi$, [/mm] das(gemäss Mittelwertsatz der Differentialrechnung) zwischen
dem Entwicklungspunkt $1$ und $x$ liegen muss. Wenn man also den Betrag der 5-ten Ableitung von $f$ im Intervall $]1;x[$ (bzw. $]x;1[$, falls $x<1$ ist) nach oben begrenzen kann, erhält man daraus eine Abschätzung für die Abweichung des Taylorpolynoms vom 4. Grad $T(x)$ vom wahren Wert $f(x)$.
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