Taylorformel/Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mi 23.09.2009 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | | Es sei f [mm] \in [/mm] C [mm] (\IR^{2} [/mm] ; [mm] \IR). [/mm] Wir definieren g(x):= f [mm] (x^{2}, cos(\pi [/mm] x). Mithilfe der partiellen Ableitungen von f geben sie die Taylorformel von g in 1 bis zur Ordnung 2 an. |
Hallo!
Stimmt das so:
[mm] g(x)=f(t_{1},t_{2}) [/mm] mit [mm] t_{1}=x^{2} [/mm] und [mm] t_{2}=cos(\pi [/mm] x)
dann ist: [mm] \bruch{\delta f}{\delta x}=\bruch{\delta f}{\delta t_{1}}\bruch{\delta t_{1}}{\delta x} [/mm] + [mm] \bruch{\delta f}{\delta t_{2}}\bruch{\delta t_{2}}{\delta x}=\bruch{\delta f}{\delta t_{1}} [/mm] 2x - [mm] \bruch{\delta f}{\delta t_{2}} \pi*sin(\pi*x)
[/mm]
[mm] \bruch{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}\bruch{\delta t_{1}^{2}}{\delta x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}}\bruch{\delta^{2} t_{2}}{\delta x^{2}}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}*2 [/mm] - [mm] \bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}} \pi^{2}*cos(\pi*x)
[/mm]
stimmt das soweit?
damit wäre dann die Taylorformel:
[mm] T_{1,2}= [/mm] f(1,-1,) + [mm] (\bruch{\delta f}{\delta t_{1}}*2x [/mm] - [mm] \bruch{\delta f}{\delta t_{2}} \pi sin(\pi*x))*(x-1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}*2-\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}} \pi^{2}*cos(\pi*x))*(x-1)^{2}
[/mm]
Hoffe das simmt so einigermaßen, bin noch unsicher mit der Kettenregel im Mehrdimensionalen.
Vielen Dank schon mal,
lg eldorado
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Hallo eldorado,
> Es sei f [mm]\in[/mm] C [mm](\IR^{2}[/mm] ; [mm]\IR).[/mm] Wir definieren g(x):= f
> [mm](x^{2}, cos(\pi[/mm] x). Mithilfe der partiellen Ableitungen von
> f geben sie die Taylorformel von g in 1 bis zur Ordnung 2
> an.
> Hallo!
> Stimmt das so:
> [mm]g(x)=f(t_{1},t_{2})[/mm] mit [mm]t_{1}=x^{2}[/mm] und [mm]t_{2}=cos(\pi[/mm] x)
> dann ist: [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}=\bruch{\delta f}{\delta t_{1}}\bruch{\delta t_{1}}{\delta x}[/mm]
> + [mm]\bruch{\delta f}{\delta t_{2}}\bruch{\delta t_{2}}{\delta x}=\bruch{\delta f}{\delta t_{1}}[/mm]
> 2x - [mm]\bruch{\delta f}{\delta t_{2}} \pi*sin(\pi*x)[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}\bruch{\delta t_{1}^{2}}{\delta x^{2}}[/mm]
> + [mm]\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}}\bruch{\delta^{2} t_{2}}{\delta x^{2}}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}*2[/mm]
> - [mm]\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}} \pi^{2}*cos(\pi*x)[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
Schreibe dazu
[mm]g'=f_{t_{1}}\left( \ t_{1}\left(x\right), \ t_{2}\left(x\right) \ \right)*t_{1}'\left(x\right)+f_{t_{2}}\left( \ t_{1}\left(x\right), \ t_{2}\left(x\right) \ \right)*t_{2}'\left(x\right)[/mm]
Differenziere dies nun nach x.
>
> stimmt das soweit?
> damit wäre dann die Taylorformel:
> [mm]T_{1,2}=[/mm] f(1,-1,) + [mm](\bruch{\delta f}{\delta t_{1}}*2x[/mm] -
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta t_{2}} \pi sin(\pi*x))*(x-1)[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} (\bruch{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}*2-\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}} \pi^{2}*cos(\pi*x))*(x-1)^{2}[/mm]
>
> Hoffe das simmt so einigermaßen, bin noch unsicher mit der
> Kettenregel im Mehrdimensionalen.
> Vielen Dank schon mal,
> lg eldorado
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 23.09.2009 | | Autor: | eldorado |
ok ich versuchs mal
g''= [mm] \bruch{\delta^{2}f}{\delta^{2} t_{1}}*2x+\bruch{\delta f}{\delta t_{1}}*2-\bruch{\delta^{2}f}{\delta^{2} t_{2}}\pi*sin(\pi*x)-\bruch{\delta f}{\delta t_{2}}*\pi^{2}*cos(\pi*x)
[/mm]
so?
danke =)
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Hallo eldorado,
> ok ich versuchs mal
>
> g''= [mm]\bruch{\delta^{2}f}{\delta^{2} t_{1}}*2x+\bruch{\delta f}{\delta t_{1}}*2-\bruch{\delta^{2}f}{\delta^{2} t_{2}}\pi*sin(\pi*x)-\bruch{\delta f}{\delta t_{2}}*\pi^{2}*cos(\pi*x)[/mm]
Das ist nicht ganz korrekt:
g''= [mm]\red{ \bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta x} }*2x+f_{t_{1}}*2-\red{ \bruch{\delta f_{t_{2}}}{\delta x}}*\pi*sin(\pi*x)-f_{t_{2}}*\pi^{2}*cos(\pi*x)[/mm]
Die partiellen Ableitungen [mm]f_{t_ {1}}, \ f_{t_{2}}[/mm]
sind auch wieder Funktionen von x.
>
> so?
> danke =)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 23.09.2009 | | Autor: | eldorado |
ah ok, super danke!
und dass muss ich jetzt einfach in die taylorformel einsetzten oder?
oder muss ich dann noch was machen?
hat mir sehr geholfen!
lg eldorado
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Hallo eldorado,
> ah ok, super danke!
> und dass muss ich jetzt einfach in die taylorformel
> einsetzten oder?
> oder muss ich dann noch was machen?
Zunächst mußt Du die Ableitungen
[mm]\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta x}, \ \bruch{\delta f_{t_{2}}}{\delta x}[/mm]
bestimmen, was analog zu [mm]g'=\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] geht.
Diese dann in die Formel für g'' einsetzen.
Und diese dann schlussendlich in die Taylorformel einsetzen.
>
> hat mir sehr geholfen!
> lg eldorado
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 23.09.2009 | | Autor: | eldorado |
nur ob ich es richtig verstanden habe:
[mm] \bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta x}=\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta t_{1}}*\bruch{\delta {t_{1}}}{\delta x}+\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta t_{2}}*\bruch{\delta f_{t_{2}}}{\delta x}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}*\bruch{\delta {t_{1}}}{\delta x}+\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}}*\bruch{\delta {t_{2}}}{\delta x}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}*2x-\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}}*\pi*sin(\pi*x)
[/mm]
und analog dann zu [mm] \bruch{\delta f_{t_{2}}}{\delta x}
[/mm]
danke für die geduld ;)
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Hallo eldorado,
> nur ob ich es richtig verstanden habe:
>
>
> [mm]\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta x}=\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta t_{1}}*\bruch{\delta {t_{1}}}{\delta x}+\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta t_{2}}*\bruch{\delta f_{t_{2}}}{\delta x}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}*\bruch{\delta {t_{1}}}{\delta x}+\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}}*\bruch{\delta {t_{2}}}{\delta x}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}*2x-\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2}^{2}}*\pi*sin(\pi*x)[/mm]
>
Kleine Korrektur:
[mm]\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta x}=\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta t_{1}}*\bruch{\delta {t_{1}}}{\delta x}+\bruch{\delta f_{t_{1}}}{\delta t_{2}}*\bruch{\delta \red{t_{2}}}{\delta x}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}*\bruch{\delta {t_{1}}}{\delta x}+\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2} \red{ \delta t_{1} }}*\bruch{\delta {t_{2}}}{\delta x}=\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{1}^{2}}*2x-\bruch{\delta^{2} f}{\delta t_{2} \red{ \delta t_{1} } }}*\pi*sin(\pi*x)[/mm]
>
> und analog dann zu [mm]\bruch{\delta f_{t_{2}}}{\delta x}[/mm]
>
> danke für die geduld ;)
Gruss
MathePower
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