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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Do 26.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] mit Hilfe der Taylorformel einen Näherungswert für die Funktion $exp(x)$ der um höchstens $5 [mm] \cdot 10^{-5}$ [/mm] vom wahren Wert abweicht. |
Hi Leute!
Erste Frage:
$exp(x)$ ist doch gleich [mm] $e^x$, [/mm] oder?
Die Tayloformel lautet: $f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0) \cdot (x-x_0) [/mm] + [mm] \frac{f''(x_0)}{2} \cdot (x-x_0)^2 [/mm] + [mm] R_3(x)$
[/mm]
Nächste Frage: Wie weiß ich nun wie oft ich die Funktion ableiten bzw. aufaddieren muss, damit ich auf die gewünschte Genauigkeit komme? Was muss ich für x einsetzen? Ich kann mir ja nicht irgendeinen Wert aussuchen, oder?
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> Bestimmen Sie für [mm]x\in[0,1][/mm] mit Hilfe der Taylorformel
> einen Näherungswert für die Funktion [mm]exp(x)[/mm] der um
> höchstens [mm]5 \cdot 10^{-5}[/mm] vom wahren Wert abweicht.
>
> Hi Leute!
>
> Erste Frage:
>
> [mm]exp(x)[/mm] ist doch gleich [mm]e^x[/mm], oder?
Ja.
> Die Tayloformel lautet:
[mm]f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2} \cdot (x-x_0)^2 + R_{\red{3}}(x)[/mm]
Vorsicht: beim Restglied gibt es unterschiedliche
Konventionen für den Index !
Nach Wikipedia: $\ f(x)\ =\ [mm] T_n(x) [/mm] + [mm] R_n(x)$ [/mm]
> Nächste Frage: Wie weiß ich nun wie oft ich die Funktion
> ableiten bzw. aufaddieren muss, damit ich auf die
> gewünschte Genauigkeit komme? Was muss ich für x
> einsetzen? Ich kann mir ja nicht irgendeinen Wert
> aussuchen, oder?
Falls die Näherungsformel für alle [mm] x\in[0,1] [/mm] so gut wie
verlangt sein soll, geht es wirklich darum, den dazu
geeigneten Grad des Taylorpolynoms zu bestimmen.
Wahrscheinlich ist es aus praktischen Gründen sinnvoll,
für [mm] x_0 [/mm] den Wert 0.5 in der Mitte des Intervalls zu wählen,
obwohl dies vermutlich nicht die absolut beste Wahl ist.
Beschäftige dich also mit der Ungleichung
[mm] |Restglied(x)|<5*10^{-5} [/mm] für alle [mm] x\in[0,1]
[/mm]
in Abhängigkeit vom Grad n der Approximation, um
dann das passende n zu finden.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 27.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun das Restgleid bestimmen will steht das jetzt bei mir so auf dem Blatt:
[mm] \frac{f^{(n+1)}(x-0,5)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] < [mm] 5\cdot 10^{-5}
[/mm]
Wobei der Exponent der Funktion den Grad der Ableitung bezeichnet.
Jetzt hab ich aber doch wieder das Problem, dass ich nicht weiß wie oft ich die Funktion Ableiten muss... Irgendwie versteh ich das nicht so wirklich!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Fr 27.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du das lagrange Restglied nimmst musst Du folgendes abschätzen:
[mm] \left|\bruch{\bruch{d^{(n+1)}}{dx^{(n+1)}}e^{\xi}}{(n+1)!}\left(x-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right| [/mm] mit [mm] \xi\in[0, [/mm] 1] und [mm] x\in[0, [/mm] 1]
[mm] e^{\xi} [/mm] ist monoton wachsend und [mm] \left(x-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right [/mm] das muss auch noch abgeschätzt werden
Dann erhälst Du einen Ausdruck der [mm] \le5*10^{-5} [/mm] sein muss und daraus ergibt sich n.
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> Hi,
>
> wenn Du das Lagrange Restglied nimmst musst Du folgendes
> abschätzen:
>
> [mm]\left|\bruch{\bruch{d}{dx}e^{\xi}}{(n+1)!}\left(x-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right|[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> mit [mm]\xi\in[0,[/mm] 1] und [mm]x\in[0,[/mm] 1]
Richtig notiert sollte das heißen:
[mm]\left|\bruch{e^{\xi}}{(n+1)!}\ \left(x-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right|[/mm]
Da die abzuleitende Funktion [mm] f(x)=e^x [/mm] identisch mit allen
ihren Ableitungen ist, bereitet die Bestimmung der
Ableitung [mm] f^{(n+1)}(x) [/mm] keinerlei Schwierigkeiten. Es ist
[mm] f^{(n+1)}(x)=e^x [/mm] und somit [mm] f^{(n+1)}(\xi)=e^{\xi} [/mm]
> [mm]e^{\xi}[/mm] ist monoton wachsend und
> [mm]\left(x-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right[/mm] das muss auch noch
> abgeschätzt werden
>
> Dann erhältst Du einen Ausdruck der [mm]\le5*10^{-5}[/mm] sein muss
> und daraus ergibt sich n.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Fr 27.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich wollte mit meiner Notation zum Ausdruck bringen, dass die (n+1)-te Ableitung von [mm] e^x [/mm] gebildet werden soll und an der Stelle [mm] \xi [/mm] ausgewertet werden soll. Das (n+1) bei der Ableitung hab ich wohl vergessen.
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> Hi,
>
> ich wollte mit meiner Notation zum Ausdruck bringen, dass
> die (n+1)-te Ableitung von [mm]e^x[/mm] gebildet werden soll und an
> der Stelle [mm]\xi[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ausgewertet werden soll. Das (n+1) bei der
> Ableitung hab ich wohl vergessen.
Hallo ullim,
was du beabsichtigt hast, habe ich wohl verstanden.
Im Ausdruck
$ \left|\bruch{\bruch{d^{(n+1)}}{dx^{(n+1)}}e^{\xi}}{(n+1)!}\left(x-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right| $
wäre aber, wenn man's genau nimmt, einfach $\bruch{d^{(n+1)}}{dx^{(n+1)}}\,e^{\xi} =\ 0$
Was du da meinst, wäre eigentlich $\ \left. {\left(\bruch{d^{(n+1)}}{dx^{(n+1)}}\ e^{x}\ \right)}\right|_{x=\xi} $
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Sa 28.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
da hast Du Recht, danke.
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Interessant ist am Beispiel noch Folgendes:
Wählt man [mm] x_0=0.5 [/mm] , so zeigt die Rechnung mit der
Lagrangeschen Restgliedformel, dass man wohl das
Taylorpolynom [mm] T_6 [/mm] wählen muss, um auf dem gesamten
Intervall [0...1] die gewünschte Genauigkeit zu er-
reichen.
In Tat und Wahrheit würde aber schon [mm] T_5 [/mm] genügen.
Eine leichte Veränderung des Entwicklungspunktes
zu [mm] x_0=0.52 [/mm] führt dazu, dass in diesem Fall auch
das Lagrange-Restglied 5. Ordnung durchwegs unter-
halb der Toleranzgrenze liegt, also [mm] |R_5|\le5*10^{-5} [/mm] .
Die Approximation mittels [mm] T_5 [/mm] wird dabei natürlich
auch etwas besser als mit [mm] x_0=0.5 [/mm] .
Korrektur: Letzteres stimmt nicht. Die über das
gesamte Intervall "beste" Approximation (mit der
kleinstmöglichen maximalen Abweichung) liefert
[mm] T_5, [/mm] wenn der Entwicklungspunkt bei (etwa) 0.506
liegt.
LG Al-Chw.
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