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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx [/mm]
durch Integration des entsprechenden Taylorpolynoms bis auf einem max. Fehler von [mm] 10^{-2}. [/mm] |
Guten Abend,
so, die Taylorreihe von sinx/x ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!} [/mm] , kann man nachschauen. Meine Fragen jetzt:
1) Wie bestimme ich die Taylorreihe bis auf einen max. Fehler von [mm] 10^{-2}?
[/mm]
2) [mm] \integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\integral_{0}^{1}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!}dx=...
[/mm]
wie integriere ich [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!} [/mm] ?
ich kann mich schwach an die vorlesung erinnern, aber ich glaube der prof. sagte irgendetwas, dass man das summenzeichen herausziehen kann aus dem integral. demnach könnte ich doch folgendes machen:
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\integral_{0}^{1}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!}dx=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\integral_{0}^{1}xdx=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}[\bruch{1}{3}x]_{0}^{1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{3(2n+1)!}=... [/mm]
korrekt?
wenn ja wie komme ich weiter?
Vielen, vielen dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 08.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx[/mm]
> durch Integration des entsprechenden Taylorpolynoms bis auf
> einem max. Fehler von [mm]10^{-2}.[/mm]
> Guten Abend,
>
> so, die Taylorreihe von sinx/x ist
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!}[/mm] , kann man
Hallo,
das ist sie nicht. Statt x muss es [mm] x^n [/mm] heißen.
Die Taylorreihe von [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] ist [mm] 1-\bruch{x^2}{3!}+\bruch{x^4}{5!}-\bruch{x^6}{7!}+\bruch{x^8}{9!}...
[/mm]
und eine Stammfunktion davon ist
[mm] F(x)=x-\bruch{x^3}{3*3!}+\bruch{x^5}{5*5!}-\bruch{x^7}{7*7!}+\bruch{x^9}{9*9!}...
[/mm]
Du musst F(1)-F(0) berechnen, wobei F(0)=0 gilt.
Dein Ergebnis ist somit
[mm] 1-\bruch{1}{3*3!}+\bruch{1}{5*5!}-\bruch{1}{7*7!}+\bruch{1}{9*9!}...
[/mm]
und weil die Summanden alternieren, kannst du aufhören, sobald ein Summand (besser: der Betrag des Summanden) unter 0,01 liegt.
Somit ist schon nach [mm] ...+\bruch{1}{5*5!} [/mm] Schluss.
Gruß Abakus
> nachschauen. Meine Fragen jetzt:
>
> 1) Wie bestimme ich die Taylorreihe bis auf einen max.
> Fehler von [mm]10^{-2}?[/mm]
>
> 2)
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\integral_{0}^{1}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!}dx=...[/mm]
> wie integriere ich
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!}[/mm] ?
>
> ich kann mich schwach an die vorlesung erinnern, aber ich
> glaube der prof. sagte irgendetwas, dass man das
> summenzeichen herausziehen kann aus dem integral. demnach
> könnte ich doch folgendes machen:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\integral_{0}^{1}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x}{(2n+1)!}dx=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\integral_{0}^{1}xdx=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}[\bruch{1}{3}x]_{0}^{1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{3(2n+1)!}=...[/mm]
>
> korrekt?
> wenn ja wie komme ich weiter?
>
>
> Vielen, vielen dank.
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vielen dank für deine antwort. ich habe nun in den lösungen geschaut und die haben aber nur bis [mm] ...+\bruch{1}{3*3!} [/mm] berechnet, ist aber beides okay oder habe ich was falsch verstanden? :
Lösungen:
[mm] sinx=x-\bruch{x^{3}}{3!}+R_{5}(x) [/mm] --> [mm] \integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\integral_{0}^{1}(1-\bruch{x^{2}}{3!})dx\integral_{0}^{1}\bruch{R_{5}(x)}{x}dx=\bruch{17}{18}+\integral_{0}^{1}\bruch{sin^{(5)}(\nu)}{5!}x^{4}dx
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\bruch{17}{18}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Do 09.09.2010 | | Autor: | abakus |
> vielen dank für deine antwort. ich habe nun in den
> lösungen geschaut und die haben aber nur bis
> [mm]...+\bruch{1}{3*3!}[/mm] berechnet, ist aber beides okay oder
> habe ich was falsch verstanden? :
Naja,
der nächste Summand [mm] (\bruch{1}{5*5!}=\bruch{1}{600} [/mm] )ist weit weniger als 0,01 und dürfte im Normalfall die zweite Nachkommastelle des Ergebnisses nicht mehr beeinflussen.
Er könnte es allerdings, wenn das vorherige Ergebnis ziemlich "auf Kippe" stehen würde.
So lange man sich nicht vergewissert hat, dass dieser Fall nicht vorliegt, ist die Hinzunahme des nächsten Summanden legitim.
Gruß Abakus
>
> Lösungen:
>
> [mm]sinx=x-\bruch{x^{3}}{3!}+R_{5}(x)[/mm] -->
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\integral_{0}^{1}(1-\bruch{x^{2}}{3!})dx\integral_{0}^{1}\bruch{R_{5}(x)}{x}dx=\bruch{17}{18}+\integral_{0}^{1}\bruch{sin^{(5)}(\nu)}{5!}x^{4}dx[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{sinx}{x}dx=\bruch{17}{18}[/mm]
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