Taylorentwicklung um 0 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Taylorreihe von arsinh(x) zum Entwicklungspunkt 0 |
Einen schönen guten Tag allerseits,
Ich erzähl euch jetzt mal, was ich mir dazu ausgedacht habe:
f(x)=arsinh(x)=log(x+ [mm] \wurzel{1+x^{2}}
[/mm]
Also ist f'(x)= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
Da die Taylorreihe zum Entwicklungspunkt 0 die Potenzreihe ist und ich Potenzreihen gliedweise integrieren kann, brauche ich eine geeignete Potenzreihe, um die Ableitung zu beschreiben. Hier nehme ich die binomische Reihe:
[mm] (1+x^{2})^{-0,5}= \summe_{i=0}^{ \infty} \vektor{-0,5 \\ 2i}x^{2i}
[/mm]
Diese integriere ich jetzt gliedweise:
Also folgt:
arsinh(x)=x+ [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{1}{2i+1}( \produkt_{k=1}^{i} \bruch{0,5-k}{k})x^{2i+1}
[/mm]
Ich finde meinen Fehler nicht, aber in dem Lexikon in dem ich nachschlage steht was anderes. Vor allem kommt da ein alternierendes Vorzeichen rein und ich weiß wirklich nicht, wo ich das übersehen haben soll....
Bitte um Hilfe
Viele Grüße
Alex
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Deine Rechnung stimmt fast. Beim Binomialkoeffizienten muß es jedoch
[mm]{{- \frac{1}{2}} \choose i}[/mm]
heißen. Das kann man auch noch anders schreiben:
[mm]{{- \frac{1}{2}} \choose i} = \frac{(-1)^i}{4^i} {{2i} \choose i}[/mm]
Überlege selbst warum. Und noch etwas: Beim Integrieren die Integrationskonstate rechtfertigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 03.01.2006 | | Autor: | Mathe_Alex |
Ahja stimmt.....für statt x nehme ich ja [mm] x^{2} [/mm] aber für i dann nicht 2i, was auch irgendwie klar ist. :)
Jetzt macht auch das alternierende Vorzeichen Sinn, denn [mm] \vektor{-0,5\\ i} [/mm] ist negativ, falls i ungerade und sonst positiv...
Zu deinem letzten Schritt habe ich noch keine anständige Lösung, aber da fällt mir sicher noch was ein ;)
Danke schön für die schnelle Antwort.
Gruß
Alex
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