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| Aufgabe | Bestimmen Sie die ersten vier Summanden der Taylorentwicklung folgender Funktion
f(x)= (x + 1)^(x-1) mit Entwicklungspunkt x = 0 |
Hallo alles zusammen,
an von sich hab ich die Taylorentwicklung verstanden. Nur ich habe ein Problem bei der oben genannten Augabe mit den Ableiten:
ich weiß, dass folgende Beziehung gilt:
f(x) = exp ((x-1) * n(x+1) ). Die Ableitung hiervon ist ja noch recht einfach. Durch die Anwendung der Produktregel folgt :
f'(x)= (ln(x+1) + [mm] \bruch{x-1}{x+1})* [/mm] (x+1)^(x-1)
Ist dies richtig? Wenn ja, weiß ich nicht so recht wie ich die nächsten zwei Ableitungen bilden soll, da der Term zu unübersichtlich wird. Gibt es da nicht eine Vereinfachung?
Hoffe ihr könnt mir weiter helfen
Mfg
Mbstudent
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Hallo Mbstudent,
> Bestimmen Sie die ersten vier Summanden der
> Taylorentwicklung folgender Funktion
>
> f(x)= (x + 1)^(x-1) mit Entwicklungspunkt x = 0
> Hallo alles zusammen,
>
> an von sich hab ich die Taylorentwicklung verstanden. Nur
> ich habe ein Problem bei der oben genannten Augabe mit den
> Ableiten:
>
> ich weiß, dass folgende Beziehung gilt:
>
> f(x) = exp ((x-1) * n(x+1) ). Die Ableitung hiervon ist ja
Hier hast Du Dich verschrieben:
[mm]f(x) = exp ((x-1) * \blue{l}n(x+1) )[/mm]
> noch recht einfach. Durch die Anwendung der Produktregel
> folgt :
>
> f'(x)= (ln(x+1) + [mm]\bruch{x-1}{x+1})*[/mm] (x+1)^(x-1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist dies richtig? Wenn ja, weiß ich nicht so recht wie ich
> die nächsten zwei Ableitungen bilden soll, da der Term zu
> unübersichtlich wird. Gibt es da nicht eine
> Vereinfachung?
Schreibe obige Ableitung doch so:
[mm]f'(x)= (ln(x+1) + \bruch{x-1}{x+1})*(x+1)^{x-1}=(ln(x+1) + \bruch{x-1}{x+1})*f\left(x\right)[/mm]
Betrachte dann
[mm]f'(x)=(ln(x+1) + \bruch{x-1}{x+1})*f\left(x\right)[/mm]
Dies differenzierst Du jetzt.
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> Hoffe ihr könnt mir weiter helfen
>
> Mfg
> Mbstudent
>
Gruss
MathePower
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> Betrachte dann
>
> [mm]f'(x)=(ln(x+1) + \bruch{x-1}{x+1})*f\left(x\right)[/mm]
>
> Dies differenzierst Du jetzt.
Ich würde noch empfehlen, den Bruch [mm] $\bruch{x-1}{x+1}$
[/mm]
umzuformen:
[mm] $\bruch{x-1}{x+1}\ [/mm] =\ 1- [mm] \bruch{2}{x+1}\ [/mm] =\ [mm] 1-2*(x+1)^{-1}$
[/mm]
Dann ist $\ f'(x)\ =\ [mm] \left(\,ln(x+1) -2*(x+1)^{-1}+ 1\,\right)*f(x)$
[/mm]
Damit kann man sich wenigstens die Quotientenregel
ersparen.
LG Al-Chw.
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