Taylorentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 So 21.11.2010 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Wir haben in der Vorlesung eine Taylorreihe entwickelt, die ich nicht ganz verstehe. Bin Chemiker und bisher hatten wir nur ganz am Rand Taylor Reihen.
Also Taylor haben wir so aufgeschrieben:
[mm] f(x)=\summe_{l=0}^{n}\frac{f^i_{(x_0)}}{i!}\cdot (x-x_0)\approx f_{(x_0)}+f^{(1)}_{(x_0)}(x-x_0)+\frac{f^{(2)}_{(x_0)}(x-x_0)^2}{2!}
[/mm]
Mit dem [mm] f^{(1)}, f^{(2)} [/mm] mein ich die erste/zweite Ableitung, das fand ich so nu etwas einfacher zu schreiben.
Ich soll nun [mm] e^{-\frac{L}{a}} [/mm] um L=0 entwickeln.
Hier mal wie wir das ind er Vorlesung gemacht haben:
[mm] f(L)=1-\frac{1}{a}(e^{-\frac{L}{a}})_{L=0}*L+\frac{1}{a^2*2!}(e^{-\frac{L}{a}})_{L=0}L^2...
[/mm]
Anschließend wird dann bei dem Exponentialterm wird dann noch L=0 eingesetzt und damit vereinfacht.
Meine Frage ist nun, wo ist der Klammerausdruck [mm] (x-x_0) [/mm] geblieben? Luat Formel ganz oben müsst der doch da mit rein? Ich mein für [mm] x_0 [/mm] bzw [mm] L_0 [/mm] Null einzusetzen kann ich nachvollziehen aber dann müsste da jeweils L übrig bleiben.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Christian
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> Hallo!
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> Wir haben in der Vorlesung eine Taylorreihe entwickelt, die
> ich nicht ganz verstehe. Bin Chemiker und bisher hatten wir
> nur ganz am Rand Taylor Reihen.
> Also Taylor haben wir so aufgeschrieben:
> [mm]f(x)=\summe_{l=0}^{n}\frac{f^i_{(x_0)}}{i!}\cdot (x-x_0)\approx f_{(x_0)}+f^{(1)}_{(x_0)}(x-x_0)+\frac{f^{(2)}_{(x_0)}(x-x_0)^2}{2!}[/mm]
>
> Mit dem [mm]f^{(1)}, f^{(2)}[/mm] mein ich die erste/zweite
> Ableitung, das fand ich so nu etwas einfacher zu
> schreiben.
> Ich soll nun [mm]e^{-\frac{L}{a}}[/mm] um L=0 entwickeln.
> Hier mal wie wir das ind er Vorlesung gemacht haben:
>
> [mm]f(L)=1-\frac{1}{a}(e^{-\frac{L}{a}})_{L=0}*L+\frac{1}{a^2*2!}(e^{-\frac{L}{a}})_{L=0}L^2...[/mm]
> Anschließend wird dann bei dem Exponentialterm wird dann
> noch L=0 eingesetzt und damit vereinfacht.
Ich kann aus dem Kauderwelsch oben nicht wirklich die Lösung erkennen, tut mir leid ;) Jedenfalls ist es wichtig, dass bei der allg. Taylor-Formel das [mm] (x-x_o)^i [/mm] steht, also auch dieser Ausdruck wird potenziert. Daher kommt bei der 0. Ableitung 1 raus, bei der zweiten bleibt [mm] (x-0)^1 [/mm] stehen. Und ich denke, dafür habt ihr offenbar L eingesetzt, denn x=L in deiner Aufgabe, dann passt das ja.
[mm] $e^{-\bruch{x}{a}}$ [/mm] wäre ja als Ableitung [mm] $-\bruch{1}{a}*e^{-\bruch{x}{a}}$
[/mm]
Es kommt also immer ein 1/a hinzu und dazu ein alternierendes Vorzeichen, das hast du ja auch. Die Fakultät steigt immer um 1, die Ableitung bleibt bis auf das Vorzeichen identisch und dazu steigt x um je eine Potenz. Das ist alles.
mich juckt es gerade, es mal ordentlich hinzuschreiben ;)
[mm] $f(x)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{f(x_0)^{(i)}}{i!}*(x-x_0)^i$
[/mm]
und mit [mm] $f(x)=e^{-\bruch{x}{a}}$, [/mm] sofern ich die Funktion richtig verstanden habe?, folgt:
[mm] $f(x)^{n}=\pm \bruch{1}{a^n}e^{-\bruch{x}{a}}$
[/mm]
[mm] $f(0)^{n}=\pm \bruch{1}{a^n}$
[/mm]
Demnach hätten wir mit [mm] x_0=0 [/mm] und L=x
[mm] $f(x)=1-\bruch{1}{a*1!}*x+\bruch{1}{a^2*2!}x^2-\bruch{1}{a^3*3!}*x^3+...$
[/mm]
Siehe auch: Mein Freund Wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^%28-x%2Fa%29
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> Meine Frage ist nun, wo ist der Klammerausdruck [mm](x-x_0)[/mm]
> geblieben? Luat Formel ganz oben müsst der doch da mit
> rein? Ich mein für [mm]x_0[/mm] bzw [mm]L_0[/mm] Null einzusetzen kann ich
> nachvollziehen aber dann müsste da jeweils L übrig
> bleiben.
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> Vielen Dank für eure Hilfe.
> Gruß Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Di 23.11.2010 | | Autor: | ONeill |
Hallo Adamantin!
Vielen Danl für Deine Mühe, die Antwort hat mir sehr weitergeholfen, nun kann ichs. Glaub ich 
Gruß Christian
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