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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
ich habe hier ein Blatt zur Programmierung und soll eine theoretische Aufgabe dazu lösen. Diese ist netterweise mit dem Hinweis versehen, dass es sich dabei um Stoff aus der Analysis I-Vorlesung handelt. Da diese Vorlesung im letzten Semester bei uns aber mehr oder weniger ins Wasser gefallen ist, habe ich keine Ahnung, was ich hier machen muss. Deshalb hoffe ich, dass ihr mir bei den Lösungen helfen könnt.
Hier die Aufgabe:
Für eine Funktion f [mm] \in \IC ^{\infty} (\IR) [/mm] definieren wir die Taylorentwicklung von f an der Stelle x+h bzgl. des Punktes x wie folgt:
F(x+h) := [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} ((f^{k}(x))/k!) *h^{k}
[/mm]
Unter bestimmten Bedingungen konvergiert diese Reihe gegen den Wert von f an der Stelle x+h. Für diese Übungen sind die Konvergenzbedingungen egal. Berechnen Sie einfach formal die Taylorreihen der angegebenen Funktionen:
a) f(x) = sin(x) bzgl. der Stelle x=0
b) f(x) = exp(x) bzgl. der Stelle x=0
Ich hoffe, ihr könnt mir beim Lösen helfen.
Liebe Grüße und vielen Dank für eure Gedanken!
Jasmin
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo Jasmin,
a) f(x) = sin(x) bzgl. der Stelle x=0
b) f(x) = exp(x) bzgl. der Stelle x=0
a)
f(x)=sin(x) [mm] \to [/mm] f(0)=sin(0)=0
f'(x)=cos(x) [mm] \to [/mm] f(0)=cos(0)=1
f''(x)=-sin(x) [mm] \to [/mm] f(0)=-sin(0)=0
f'''(x)=-cos(x) [mm] \to [/mm] f(0)=-cos(0)=-1
und so zyklisch weiter...
daraus folgt dann:
sin(x)= [mm] \bruch{x}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5!} [/mm] -....
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
die Konvergenz lässt sich aus r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} abs(\bruch{a_{n}}{a_{n}+1})
[/mm]
herleiten und es kommt heraus, das die Reihe beständig konvergiert.
b) das selbe Spiel, Ableitungen bilden, einsetzen, Reihe aufstellen und Konvergenz bestimmen nach dem obigen Schema denke ich kein Problem für Dich, gell?
(Mit dem Restglied von Lagrange kannst du dann noch ausrechnen auf wie viele Stellen hinter dem Komma genau Du den Wert bestimmt hast)
Gruß Kruder77
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hi,
danke für deine schnelle Antwort. Sehe ich es richtig, dass die formale Taylorreihe, die ich berechnen sollte, das hier ist:
> sin(x)= [mm]\bruch{x}{1!}[/mm] - [mm]\bruch{x^{3}}{3!}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^{5}}{5!}[/mm] -....
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm] ?
Ich meine, ob es nicht reicht, das als Ergebnis hin zu schreiben, ohne nochmal auf die Konvergenz hinzuweisen.
Brauche ich diesen Schritt dann noch:
> die Konvergenz lässt sich aus r=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} abs(\bruch{a_{n}}{a_{n}+1})[/mm]
>
> herleiten und es kommt heraus, das die Reihe beständig
> konvergiert. ?
Sorry für die dumme Frage, aber ich habe wirklich keine Ahnung, was von mir verlangt ist. Deine Ausführung habe ich soweit allerdings verstanden.
> b) das selbe Spiel, Ableitungen bilden, einsetzen, Reihe
> aufstellen und Konvergenz bestimmen nach dem obigen Schema
> denke ich kein Problem für Dich, gell?
Kannst du mir die Reihe und die Konvergenz vielleicht noch bestimmen? Ich möchte das gleich selbst ausprobieren, will aber sicher gehen, dass das, was ich mache, auch richtig ist. Die Ableitungen bekomme ich noch selbst hin. 
Liebe Grüße und vielen Dank!
Jasmin
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Hallo Jasmin,
> danke für deine schnelle Antwort. Sehe ich es richtig, dass
> die formale Taylorreihe, die ich berechnen sollte, das hier
> ist:
>
> > sin(x)= [mm]\bruch{x}{1!}[/mm] - [mm]\bruch{x^{3}}{3!}[/mm] +
> > [mm]\bruch{x^{5}}{5!}[/mm] -....
> > = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Ja, das ist die Taylorreihe!
> Ich meine, ob es nicht reicht, das als Ergebnis hin zu
> schreiben, ohne nochmal auf die Konvergenz hinzuweisen.
>
> Brauche ich diesen Schritt dann noch:
>
> > die Konvergenz lässt sich aus r=
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} abs(\bruch{a_{n}}{a_{n}+1})[/mm]
Na wenn die Konvergenz gefragt ist, dann schreibe sie mit auf,
wenn nicht lass sie weg - oder habe ich Dich jetzt mißverstanden?
> Kannst du mir die Reihe und die Konvergenz vielleicht noch
> bestimmen? Ich möchte das gleich selbst ausprobieren, will
> aber sicher gehen, dass das, was ich mache, auch richtig
> ist. Die Ableitungen bekomme ich noch selbst hin.
Gut - Jasmin dann probiere es aus und poste den Versuch,
dann sage ich/oder jemand anderes Dir ob er richtig ist - ich mag Dir ja nicht den Spaß nehmen
Gruß Kruder77
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mo 16.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
[mm] e^{x}=1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+...
[/mm]
weil [mm] f^{n}(x)=e^{x} [/mm] --> [mm] f^{n}(0)=1
[/mm]
auch diese Reihe konvergiert beständig....
Gruß & einen schönen Tag 
Kruder
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