Taylorentwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 23.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | [mm] f:(\IR^{+})^{2} \rightarrow \IR [/mm] f(x,y) = [mm] x^{y}
[/mm]
gesucht ist die Taylorentwicklung bis zur 2.Ordnung am Punkt (e,1) (e = Eulersche Zahl) |
Mein Lösungsanstaz ist folgender:
0.Zeile f(e,1) = [mm] e^{1}=e
[/mm]
1.Zeile: [mm] \bruch{\partial}{\partial*x}f(x,y)=y*x^{y-1}=e^{0}=1
[/mm]
(Anmerkung: mir ist klar, dass die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] eigentlich immer [mm] e^{x} [/mm] ist, aber damit ist ja die Ableitung nach x gemeint - und hier suchen wir ja die Ableitung nach e. Ich hoffe ich habe das richtig gemacht?? (Die 1."Alternative" wäre, dass es doch [mm] e^{x} [/mm] und damit [mm] e^{1} [/mm] ist). [mm] \bruch{\partial}{\partial*y}f(x,y)=e^{1} [/mm] ( Anmerkung: hier war ich mir allerdings nicht ganz sicher. Denn [mm] e^{x} [/mm] ist ja - wie gesagt & allbekannt - IMMER [mm] e^{x}, [/mm] aber gilt das wirklich auch für [mm] e^{1}?? [/mm] Das ist ja eigentlich nur e, also eine Zahl und das abgeleitet würde 0 ergeben. Oder, wenn man erst die ALLGEMEINE Ableitung berechnet und dann erst die Werte einsetzt (so, wie ich es bei Taylorplynom-Aufgaben eigentlich IMMER mache. nur bei [mm] e^{x} [/mm] klappt das irgendwie nicht so richtig...), dann erhält man ja: [mm] \bruch{\partial}{\partialy} x^{y} [/mm] = [mm] x^{y}*ln(y) [/mm] = 0. Also ist die erste Ableitung nach y entweder e oder 0. Und bei der nach x eben entweder e oder 1. Mit was soll ich denn jeweils weiterrechnen??
2.Zeile: 1. [mm] \bruch{\partial^{2}*f}{\partial*x^{2}} [/mm]
1.Version : [mm] ...=(y-1)*y*x^{y-1-1}=(y^{2}-y)*x^{-1}=0 [/mm] Anm.: das Gleiche würde rauskommen wenn ich die 1 die ich oben nach dem Einsetzen des Entwicklungspunktes rausgekriegt hab, nach x ableite).
2.Version: ...= [mm] \bruch{\partial}{\partial*x} e^{1}=e^{-1} [/mm]
2. [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial*x\partial*y} [/mm]
1.Version : hier habe ich die Produktregel verwendet und dazu den allgemeinen Term der 1.Ableitung nach x etwas umgeschrieben: ...= [mm] \bruch{y}{x}*x^{y} \Rightarrow \bruch{\partial^{2}f}{\partial*x\partial*y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial*y} \bruch{y}{x}*x^{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}*x^{y} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x}*x^{y}*ln(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}*x^{y}*(1+y*ln(y) [/mm] = [mm] e^{-1}*e^{1}*(1+0) [/mm] = 1
Also bevor ich jetzt weiterrechne und mich selbst NOCH mehr verwirre: kann mich bitte jemand aufklären wie denn nun dieser Sonderfall [mm] e^{1} [/mm] zu behandeln ist...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schomal im Vorraus, Grüße
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Hallo a_la_fin,
> [mm]f:(\IR^{+})^{2} \rightarrow \IR[/mm] f(x,y) = [mm]x^{y}[/mm]
> gesucht ist die Taylorentwicklung bis zur 2.Ordnung am
> Punkt (e,1) (e = Eulersche Zahl)
> Mein Lösungsanstaz ist folgender:
> 0.Zeile f(e,1) = [mm]e^{1}=e[/mm]
> 1.Zeile:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*x}f(x,y)=y*x^{y-1}=e^{0}=1[/mm]
> (Anmerkung: mir ist klar, dass die Ableitung von [mm]e^{x}[/mm]
> eigentlich immer [mm]e^{x}[/mm] ist, aber damit ist ja die Ableitung
> nach x gemeint - und hier suchen wir ja die Ableitung nach
> e. Ich hoffe ich habe das richtig gemacht?? (Die
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1."Alternative" wäre, dass es doch [mm]e^{x}[/mm] und damit [mm]e^{1}[/mm]
> ist). [mm]\bruch{\partial}{\partial*y}f(x,y)=e^{1}[/mm] (
> Anmerkung: hier war ich mir allerdings nicht ganz sicher.
> Denn [mm]e^{x}[/mm] ist ja - wie gesagt & allbekannt - IMMER [mm]e^{x},[/mm]
> aber gilt das wirklich auch für [mm]e^{1}??[/mm] Das ist ja
> eigentlich nur e, also eine Zahl und das abgeleitet würde
> 0 ergeben. Oder, wenn man erst die ALLGEMEINE Ableitung
> berechnet und dann erst die Werte einsetzt (so, wie ich es
> bei Taylorplynom-Aufgaben eigentlich IMMER mache. nur bei
> [mm]e^{x}[/mm] klappt das irgendwie nicht so richtig...), dann
> erhält man ja: [mm]\bruch{\partial}{\partialy} x^{y}[/mm] =
> [mm]x^{y}*ln(y)[/mm] = 0. Also ist die erste Ableitung nach y
> entweder e oder 0. Und bei der nach x eben entweder e oder
> 1. Mit was soll ich denn jeweils weiterrechnen??
Für die Berechnung der partiellen Ableitung nach y schreibe f so um:
[mm]f\left(x,y\right)=x^{y}=e^{y*\ln\left(x\right)}[/mm]
Differenziere dies jetzt nach y.
> 2.Zeile: [mm]\bruch{\partial^{2}*f}{\partial*x^{2}}[/mm]
> 1.Version : [mm]...=(y-1)*y*x^{y-1-1}=(y^{2}-y)*x^{-1}=0[/mm] Anm.:
> das Gleiche würde rauskommen wenn ich die 1 die ich oben
> nach dem Einsetzen des Entwicklungspunktes rausgekriegt
> hab, nach x ableite).
Konstanten abgeleitet ergeben ja immer 0.
Korrekt ist deshalb die Version 1.
> 2.Version: ...= [mm]\bruch{\partial}{\partial*x} e^{1}=e^{-1}
\bruch{\partial^{2}f}{\partialx\partial y}[/mm]
> = 1.Version : hier habe ich die Produktregel verwendet und
> dazu den allgemeinen Term der 1.Ableitung nach x etwas
> umgeschrieben: ...= [mm]\bruch{y}{x}*x^{y} \Rightarrow \bruch{\partial^{2}f}{\partialx\partialy}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial}{\partialy}\bruch{y}{x}*x^{y}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x}*x^{y}[/mm] + [mm]\bruch{y}{x}*[red] x^{y}*ln(y)[/mm] [/red]. Das
heißt, naja das wäre wieder der allgemeine Fall. Im
Sonderfall [mm]e^{1}[/mm] wäre das Rotgeschriebene ja wieder
entweder [mm]e^{1}[/mm] - oder halt doch 0...
Also bevor ich jetzt weiterrechne und mich selbst NOCH
mehr verwirre: kann mich bitte jemand aufklären wie denn
nun dieser Sonderfall [mm]e^{1}[/mm] zu behandeln ist...?
Berechne zuerst formal alle partiellen Ableitungen.
Setze dann den Punkt (e,1) in jede dieser partiellen Ableitungen ein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
Internetseiten gestellt.
Danke schomal im Vorraus, Grüße
Gruss
MathePower
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