Taylorentwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mo 08.09.2008 | | Autor: | jack0 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich hab eine Frage zu oben geposteter Musterlösung. Ich finde die Aufgabe an sich nicht so schwierig, jedoch ist mir in der Lösung unklar wo diese 3 (rot unterstrichen) herkommt? Meiner Meinung nach dürfte sie da nicht stehen. Vielleicht kann mir das ja mal einer erklären.
Vielen Dank
Gruß Peter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich möchte zur Musterlösung sagen:
im Term 2(x-1)(y+2) fehlt der Nenner 2!, also [mm] \bruch{2}{2!}(x-1)(y+2), [/mm] deine markierte 3 darf nicht stehen, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mo 08.09.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo Peter, Hallo Steffi,
ich weiss jetzt nicht genau, wie ihr die Taylorformel im mehrdimensionalen eingeführt habt, aber auf den ersten Blick scheint mir die Musterlösung schon recht zu haben.
1.) 2(x-1)(y+2): Es ist [mm] $f_{xy}(1,-2) [/mm] = 2$. Bei dem "Fakultätsterm" muss aber die Fakultät des Multiindex (1,1) genommen werden - und das ist nun mal $1! * 1! = 1$ und nicht $2!$, obwohl es irgendwie eine "zweite Ableitung" ist.
Ohne Verwendung von Multiindizes kann man es sich auh so klar machen: Es gibt ja zwei verschiedene gemischte zweite Ableitungen von f, nämlich [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx}. [/mm] Diese sind zwar gleich, müssten aber streng genommen beide berücksichtigt werden, so dass man auf 2 gleiche Summanden mit [mm] $\frac{1}{2!}$ [/mm] käme - was sich dann auch wieder rauskürzt.
2.) Jetzt zu der rätselhaften 3. Auch hier würde man wegen "dritter Ableitung" ein [mm] $\frac{1}{3!} [/mm] = [mm] \frac{1}{6}$ [/mm] erwarten. Der Multiindex lautet aber (2,1), d.h. seine Fakultät ist $2!*1!=2 = [mm] 3*\frac{1}{6}$.
[/mm]
Auf dem anderen Weg muss man wieder die möglichen Ableitungen zählen, und das sind in diesem Fall 3 Stück: [mm] f_{xxy}, f_{xyx} [/mm] und [mm] f_{yxx}. [/mm] Also hat man in diesem Fall drei Summanden mit der gleichen dritten Ableitung, die man wieder zusammenfassen kann.
Beachte: je nachdem, wie ihr die Taylorformel eingeführt habt bitte nur entweder die Multiindizes oder das "Ableitungen zählen" verwenden. Macht man beides auf einmal wird's natürlich falsch....
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Di 09.09.2008 | | Autor: | jack0 |
Hi piet,
danke für die ausführliche Erklärung. Ich war wohl etwas verwirrt durch dieses 1/6*3 anstatt 1/2. Aber jetzt dürfte es klar sein.
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