Taylorentwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich verstehe leider nicht, wie diese Taylorformel für mehrere Veränderliche funktionieren soll. Kann mir das mal jemand erklären? Am Besten anhand dieses Beispiels:
[Dateianhang nicht öffentlich]
h ist doch der Vektor x - [mm] x_{0} [/mm] oder? Ich verstehe vor allem nicht wo die gemischten Glieder später herkommen, also zb [mm] f_{xy}(x,y)
[/mm]
ciao, Simon.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich schreibe mal den Teil der Summe der allgemeinen Formel für [mm] | \alpha |=2 [/mm] und [mm] n=2 [/mm] hin, wobei [mm] x=(1,1) [/mm] der Entwicklungspunkt ist und [mm] h=(h_1,h_2) [/mm] wie in der Formel.
[mm] \summe_{| \alpha |=2} \frac{1}{\alpha !}*(D^{\alpha}f)((1,1))*h^{\alpha}=\underbrace{\frac{1}{2!*0!}*\frac{\partial^2 f}{\partial_{xx} f}((1,1))*h_1^2*h_2^0}_{\alpha = (2,0)} + \underbrace{\frac{1}{1!*1!}*\frac{\partial^2 f}{\partial_{xy} f}((1,1))*h_1^1*h_2^1}_{\alpha = (1,1)} + \underbrace{\frac{1}{0!*2!}*\frac{\partial^2 f}{\partial_{yy} f}((1,1))*h_1^0*h_2^2}_{\alpha = (0,2)} [/mm].
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Danke, jetzt habe ich glaube ich verstanden was dieser Multiindex bedeutet.
Bei [mm] \alpha [/mm] = 3 hätte ich zb die Tupel (3,0) (0,3) (2,1) und (1,2) richtig? Das ganze ist dann dazu gedacht, dass man die gleichen Ableitungen nicht immer so oft hinschreiben muss (wegen [mm] f_{xyx} [/mm] = [mm] f_{xxy} [/mm] usw). Right?
Eine Frage hätte ich noch. Leitet man bei diesem Therm:
[mm] \frac{\partial^2 f}{\partial_{y}\partial_{x}}
[/mm]
Zuerst nach x oder zuerst nach y ab? Spielt zwar in den meisten Fällen keine Rolle, interessiert mich aber trotzdem mal.
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Hallo mikemodanoxxx,
> Danke, jetzt habe ich glaube ich verstanden was dieser
> Multiindex bedeutet.
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> Bei [mm]\alpha[/mm] = 3 hätte ich zb die Tupel (3,0) (0,3) (2,1) und
> (1,2) richtig? Das ganze ist dann dazu gedacht, dass man
> die gleichen Ableitungen nicht immer so oft hinschreiben
> muss (wegen [mm]f_{xyx}[/mm] = [mm]f_{xxy}[/mm] usw). Right?
Genau, so isses.
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> Eine Frage hätte ich noch. Leitet man bei diesem Therm:
> [mm]\frac{\partial^2 f}{\partial_{y}\partial_{x}}[/mm]
>
> Zuerst nach x oder zuerst nach y ab? Spielt zwar in den
> meisten Fällen keine Rolle, interessiert mich aber trotzdem
> mal.
Wie Du richtig bemerkt hast, spielt das in den meisten Fällen keine Rolle.
Formal gesehen ist
[mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\bruch{\partial } {\partial y}\left(\bruch{\partial f}{\partial x}\right)[/mm]
Hier wird zuerst nach x und dann nach y abgeleitet.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 21.08.2008 | | Autor: | jack0 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu diesem Vektor h. Wie wird der denn berechnet?
Gruß Peter
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Hallo,
es ist in der oben angegebenen Taylorformel das x der Entwicklungspunkt, und das h ist der Differenzvektor zwischen der Stelle, für die man sich gerade interessiert und dem Entwicklungspunkt x.
Gehen wir mal kurz zum eindimensionalen Fall:
das n_te Taylorpolynom von f im Entwicklungspunkt a an der Stelle y ist [mm] T_{f,a}(y)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}(y-a)^k.
[/mm]
Jetzt benennen wir ein bißchen um.
Mit
x:=a
h:=y-a
erhält man [mm] T_{f,x}(x+h)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(x)}{k!}h^k, [/mm] und damit sind wir beim eindimensionalen Analogon zur Darstellung im Eingangspost.
Schauen wir uns nun die dort gestellte Aufgabe an: der Entwicklungspunkt ist x=(1 ; 1).
Die Taylorentwicklung im Punkt (1;1) ist
[mm] T((1,1)+(h_1,h_2)) [/mm] = [mm] \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{(1;1)})}{\alpha !}(h_1;h_2)^{\alpha}} [/mm]
Zu guter Letzt soll man noch den Fehler im Punkt (1; 0.8) ausrechnen, also den Fehler für h=(0; -0.2).
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Wir haben folgende Definition eines k-ten Taylorpolynoms im Skript:
Sei U [mm] \subset IR^n, [/mm] f: U [mm] \subset IR^\mapsto [/mm] IR k-mal diffbar, u [mm] \in [/mm] U.
[mm] T^k_{u} [/mm] f (x) : = [mm] \summe_{\alpha \le k} \bruch{D^{\alpha }f(u) }{\alpha!} x^{\alpha} [/mm] heißt das k-te Taylorpolynom von f in u.
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Frage zur Definiton des Taylorpolynoms (im Übrigen hab ich das Betragszeichen im Index unten bei der Summe nicht hinbekommen - es muss natürlich Betrag von Alpha kleiner gleich k heißen!):
Ich verstehe irgendwie nicht, wieso da nur [mm] x^{\alpha} [/mm] steht. Ich dachte zunächst, der Dozent hätte vielleicht das u einfach nur vergessen, also dass es eigentlich [mm] (x-u)^{\alpha} [/mm] heißen müsse, aber das wird konsequent so weiter fortgesetzt. Kann mir jemand erklären, wieso die oben gepostete Definiton äquivalent zu der Definition ist, die man sonst überall zum Taylorpolynom k-ten Grades (mehrdimensional) findet? Also eben mit besagtem [mm] (x-u)^{\alpha} [/mm] ??
Vielen Dank für eure Hilfe! Lg,
Julia
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> Wir haben folgende Definition eines k-ten Taylorpolynoms im
> Skript:
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> Sei U [mm]\subset IR^n,[/mm] f: U [mm]\subset IR^\mapsto[/mm] IR k-mal
> diffbar, u [mm]\in[/mm] U.
>
> [mm]T^k_{u}[/mm] f (x) : = [mm]\summe_{\alpha \le k} \bruch{D^{\alpha }f(u) }{\alpha!} x^{\alpha}[/mm]
> heißt das k-te Taylorpolynom von f in u.
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> Frage zur Definiton des Taylorpolynoms (im Übrigen hab ich
> das Betragszeichen im Index unten bei der Summe nicht
> hinbekommen - es muss natürlich Betrag von Alpha kleiner
> gleich k heißen!):
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> Ich verstehe irgendwie nicht, wieso da nur [mm]x^{\alpha}[/mm]
> steht. Ich dachte zunächst, der Dozent hätte vielleicht das
> u einfach nur vergessen, also dass es eigentlich
> [mm](x-u)^{\alpha}[/mm] heißen müsse, aber das wird konsequent so
> weiter fortgesetzt. Kann mir jemand erklären, wieso die
> oben gepostete Definiton äquivalent zu der Definition ist,
> die man sonst überall zum Taylorpolynom k-ten Grades
> (mehrdimensional) findet? Also eben mit besagtem
> [mm](x-u)^{\alpha}[/mm] ??
Hallo,
ich kann mir zwei Möglichkeiten vorstellen, und beide haben etwas mit "Fehler" zu tun.
1. Da sollte eigentlich stehen [mm] T^k_{u}f [/mm] (u+x) : = [mm]\summe_{|\alpha| \le k} \bruch{D^{\alpha }f(u) }{\alpha!} x^{\alpha}[/mm]
2. Da sollte stehen [mm] T^k_{u}f [/mm] (x) : = [mm]\summe_{\alpha \le k} \bruch{D^{|\alpha| }f(u) }{\alpha!} (x-u)^{\alpha}[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mo 25.08.2008 | | Autor: | BieneJulia |
Hallo!
Sorry, dass ich mich erst jetzt melde.
Vielen Dank, dann wird der Dozent da wohl wirklich nen "Fehler" gemacht haben.
Lg, Julia
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