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| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion f(x) = [mm] (1-x)^{-p} [/mm] für festes [mm] p\in\IN [/mm] um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 0 in eine Taylorreihe und zeigen Sie, dass die Reihe für alle |x| < 1 konvergiert. |
Hallo zusammen,
ich bin mal wieder völlig überfordert...
Was Taylorreihen angeht versteh ich momentan nur Bahnhof :(
Also ich weiß, dass man die Funktion irgendwie in die Form
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x-x_{0})^{n}
[/mm]
bringen muss, aber wie das funktioniert, versteh ich leider nicht...
Ich hoffe ihr könnt mir evtl ein paar Tipps geben, damit ich solche Aufgaben lösen kann.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Gruß Michael
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Entwickeln Sie die Funktion f(x) = [mm](1-x)^{-p}[/mm] für festes
> [mm]p\in\IN[/mm] um den Punkt [mm]x_{0}[/mm] = 0 in eine Taylorreihe und
> zeigen Sie, dass die Reihe für alle |x| < 1 konvergiert.
> Hallo zusammen,
>
> ich bin mal wieder völlig überfordert...
> Was Taylorreihen angeht versteh ich momentan nur Bahnhof
> :(
> Also ich weiß, dass man die Funktion irgendwie in die Form
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x-x_{0})^{n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bringen muss, aber wie das funktioniert, versteh ich leider
> nicht...
Du musst in einem ersten Schritt ja nur aufgrund der gegebenen Funktion [mm] $f(x)=(1-x)^{-p}$ [/mm] die Werte [mm] $f^{(n)}(x_0)$ [/mm] berechnen.
Die ersten zwei Ableitungen sind [mm] $f'(x)=p(1-x)^{-(p+1)}$ [/mm] und [mm] $f''(x)=p(p+1)(1-x)^{-(p+2)}$. [/mm] Man sieht schon wie es weitergeht: [mm] $f^{(n)}(x)=p(p+1)(p+2)\cdots (p+n-1)\cdot (1-x)^{-(p+n)}$. [/mm] Damit hast Du alles, um die Taylorreihe hinzuschreiben.
Bestimme dann den Konvergenzradius dieser Taylorreihe. Entweder über [mm] $\rho=1/\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] oder (was hier besonders einfach geht) über [mm] $\rho =\lim_{n\rightarrow \infty}|a_n/a_{n+1}|$, [/mm] wobei [mm] $a_n [/mm] := [mm] f^{(n)}(x_0)/n!$.
[/mm]
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also ich hab jetzt gesagt, [mm] f^{(n)}(0)= [/mm] p(p+1)(p+2)...(p+n-1)*1,
und somit lautet die Taylorreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{p(p+1)...(p+n-1)}{n!} x^{n}
[/mm]
der Konvergenzradius ist dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}/a_{n+1}| [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |p(p+1)...(p+n-1)(n+1)! / p(p+1)...(p+n)n! | =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |(n+1)! / (p+n)n! | =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |n+1 / p+n| = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] R= 1/1 = 1
und damit wärs dann bewiesen.stimmt das jetzt so? vielen dank für deine hilfe
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> also ich hab jetzt gesagt, [mm]f^{(n)}(0)=[/mm]
> p(p+1)(p+2)...(p+n-1)*1,
> und somit lautet die Taylorreihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{p(p+1)...(p+n-1)}{n!} x^{n}[/mm]
>
> der Konvergenzradius ist dann:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}/a_{n+1}|[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |p(p+1)...(p+n-1)(n+1)! /
> p(p+1)...(p+n)n! | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |(n+1)! / (p+n)n! | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |n+1 / p+n| = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] R= 1/1 = 1
> und damit wärs dann bewiesen.stimmt das jetzt so?
Im wesentlichen schon: nur fehlt bei der obigen Umformung die eine oder andere Klammer um Zähler und Nenner. Aber ich gehe davon aus, dass Du dies auf Papier richtig schreiben wirst.
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also ich hab jetzt gesagt, [mm] f^{(n)}(0)= [/mm] p(p+1)(p+2)...(p+n-1)*1,
und somit lautet die Taylorreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{p(p+1)...(p+n-1)}{n!} x^{n}
[/mm]
der Konvergenzradius ist dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}/a_{n+1}| [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |p(p+1)...(p+n-1)(n+1)! / p(p+1)...(p+n)n! | =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |(n+1)! / (p+n)n! | =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |n+1 / p+n| = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] R= 1/1 = 1
und damit wärs dann bewiesen.stimmt das jetzt so? vielen dank für deine hilfe
bei einer kleinen sache war ich nur nicht so ganz sicher, ich dachte, wenn ich (1-x)^-p ableite, bekomme ich -p(1-x)^-(p+1) ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Di 01.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> also ich hab jetzt gesagt, [mm]f^{(n)}(0)=[/mm]
> p(p+1)(p+2)...(p+n-1)*1,
> und somit lautet die Taylorreihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{p(p+1)...(p+n-1)}{n!} x^{n}[/mm]
>
> der Konvergenzradius ist dann:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}/a_{n+1}|[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |p(p+1)...(p+n-1)(n+1)! /
> p(p+1)...(p+n)n! | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |(n+1)! / (p+n)n! | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |n+1 / p+n| = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] R= 1/1 = 1
> und damit wärs dann bewiesen.stimmt das jetzt so? vielen
> dank für deine hilfe
>
> bei einer kleinen sache war ich nur nicht so ganz sicher,
> ich dachte, wenn ich (1-x)^-p ableite, bekomme ich
> -p(1-x)^-(p+1) ...
Nicht ganz: denn Du musst aufgrund der Kettenregel noch mit der "inneren Ableitung", d.h. mit der Ableitung von $1-x$ multiplizieren: dies ergibt einen zusätzlichen Faktor $(-1)$, der sich gerade mit dem $-$ von $-p$ verrechnen lässt:
[mm]\left((1-x)^{-p}\right)'=\red{-}p(1-x)^{-(p+1)}\cdot \red{(-1)}=p(1-x)^{-(p+1)}[/mm]
Genauso bei den höheren Ableitungen.
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aber klar, natürlich.super, danke hast mir echt weitergeholfen.so schwer ists ja eigentlich garnicht...
bis dann mal
gruß michael
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