Taylorentwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie von f(x,y) = [mm] c^{x} \sin(y) [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] das Taylorpolynom dritter Ordnung mit Entwicklungspunkt [mm] (x_{0}, y_{0}) \in \IR^{2} [/mm] |
Ich weiß bei dieser Aufgabe nicht richtig was mein genauer Entwicklungspunkt ist ... kann ich einfach sagen dass ich es bspw. für (1,1) entwickle ???
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Hallöchen.
Es ist ja kein konkreter numerischer Entwicklungspunkt angegeben, eben nur [mm] (x_{0},y_{0}). [/mm] Aber um eine erste Idee zu haben, wie es gehen kann, kannst Du natürlich ruhig mal (1,1) nehmen oder vielleicht besser (1,2), damit Du am Endergebnis noch ablesen kannst, welches der x-Wert war und welches der y-Wert. Wenn kein konkreter Punkt angegeben ist, wird das Ergebnis diese [mm] x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] enthalten (und damit etwas kompliziert aussehen), wenn Du (1,2) verwendest, kannst Du die vorkommenden partiellen Ableitungen an dem Punkt (1,2) eben wirklich ausrechnen und erhältst konkrete Zahlen. Ok soweit?
Gruß To
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Dank dir ... :)
Ich habe das nun mal allgemein angefangen:
also f(z) = [mm] f\vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + ( z - [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} \nabla) [/mm] * [mm] f\vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ((z - [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} \nabla)^{2} [/mm] * [mm] f\vektor{x_{0} \\ y_{0}}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] ((z - [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} \nabla)^{3} [/mm] * [mm] f\vektor{x_{0} \\ y_{0}})
[/mm]
= [mm] c^{x_{0}}\sin(y_{0}) [/mm] + [mm] ((z_1 [/mm] - [mm] x_0) \partial_1 [/mm] + [mm] (z_2-y_0)\partial_2) f\vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}((z_1-x_0) \partial_1 [/mm] + [mm] (z_2-y_0)\partial_2)^{2}*f\vektor{x_{0} \\ y_{0}}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}((z_1-x_0) \partial_1 [/mm] + [mm] (z_2-y_0)\partial_2)^{3}*f\vektor{x_{0} \\ y_{0}})
[/mm]
= [mm] c^{x_{0}}\sin(y_{0}) [/mm] + (x [mm] c^{x-1}\sin(y), c^{x}\cos(y)) \vektor{z_1-x_0 \\ z_2-y_0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \vektor{z_1-x_0 \\ z_2-y_0}^{t}\pmat{ (x_0-1)x_0c^{x_0-2}\sin(y) & x_0c^{x_0-1}\cos(y) \\ x_0c^{x_0-1}\cos(y) & -c^{x_0}\sin(y_0)}\vektor{z_1-x_0 \\ z_2-y_0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] ...
hier habe ich Probleme ich habe keine Ahnung was ich mit dem Ausdruck [mm] ((z_1-x_0) \partial_1 [/mm] + [mm] (z_2-y_0)\partial_2)^{3}*f\vektor{x_{0} \\ y_{0}}) [/mm] machen soll? Wie kann ich diesen als Funktion von f ausdrücken habe keine Ahnung was ich mit dem [mm] \nabla^{3} [/mm] machen soll .... ist das auch eine Hessematrix???
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Hallo.
Die mehrdimensionale Taylorformel ist etwas schwierig - nicht inhaltlich, sondern wegen der Schreibweise. Da gibt's dann auch in den Büchern verschiedene Versionen, eine eignet sich gut für allgemeine und theoretische Untersuchungen, andere eher zum rechnen. Ich würde für konkrete Aufgaben die folgende nehmen:
Für 2 Veränderliche ist sie am einfachsten zu notieren und paßt zur Aufgabe. Also sei z = (x,y) (der Entwicklungspunkt), [mm] h=(h_{1},h_{2}). [/mm] Dann ist
f(z+h) = f(z) +
[mm] h_{1}*f_{x}(z) [/mm] + [mm] h_{2}*f_{y}(z) [/mm] +
[mm] \bruch{1}{2}*h_{1}^2*f_{xx}(z) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*h_{2}^2*f_{yy}(z) [/mm] + [mm] h_1*h_2*f_{xy}(z) [/mm] +
Term 3. Ordnung +
Restterm.
Das Ganze ohne den Restterm ist dann das Taylorpolynom 3. Ordnung.
Den Term 2. Ordnung kann man als quadratische Form auch so schreiben:
[mm] \bruch{1}{2}*h^T*H(z)*h
[/mm]
wobei H(z) die Hessematrix am Punkt z ist und [mm] h^T [/mm] der transponierte h-Vektor.
Man kann's noch anders kriegen, nämlich so:
[mm] \bruch{1}{2}*(h_1*\partial_x [/mm] + [mm] h_2*\partial_y)^2 [/mm] (f)(z)
So hast Du's ja auch geschrieben. Man muß halt nur wissen, wie man Zahl [mm] h_1 [/mm] mal Ableitungsoperator [mm] \partial_x [/mm] "sinnvoll" quadriert, ist eben nur ne Schreibweise!
Den Term 3. Ordnung bekommt man nun genauso:
[mm] \bruch{1}{6}*(h_1*\partial_x [/mm] + [mm] h_2*\partial_y)^3 [/mm] (f)(z)
Ausgeschrieben (ohne die 1/6):
[mm] h_1^3*f_{xxx}(z) [/mm] + [mm] 3*h_1^2*h_2*f_{xxy}(z) [/mm] + [mm] 3*h_1*h_2^2*f_{xyy}(z) [/mm] + [mm] h_2^3*f_{yyy}(z) [/mm]
So wie der Term 2. Ordnung eine quadratische oder auch Bilinearform ist, ist der 3. Ordnung eine sog. 3-Form. Da steckt dann keine Matrix, also ein 2-dimensionales Gebilde dahinter, sondern ein 3-dimensionales. Hesse-Matrix ist nur die Matrix in dem Term 2. Ordnung.
So jetzt "nur" noch die partiellen Ableitungen ausrechnen, einsetzen, fertig. Is mühsam.
Gruß To
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