Taylorabschätzung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Taylorpolynome [mm]P_{0},...,P_{3}[/mm] bei [mm]x_{0}=0[/mm] für die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{x+1}[/mm] und schätzen Sie den Fehler mir Hilfe des Satzes von Taylor ab. |
Hallo,
ich brauche Hilfe beim letzten Teil der Aufgabe.
Kurz meine Ergebnisse bis jetzt:
[mm]P_{3}=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4}x^{2}+\bruch{1}{8}x^{3}[/mm]
[mm]f^{(4)}(x)=-\bruch{15}{16}(1+x)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]
Restglied nach Lagrange:
[mm]R_{n}(x):=\bruch{f^{n+1}(\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}=\bruch{f^{4}(\varepsilon)}{4!}(x)^{4}=\bruch{-\bruch{15}{16}(1+\varepsilon)^{-\bruch{7}{2}}}{4!}x^{4}=-\bruch{15(1+\varepsilon)^{-\bruch{7}{2}}}{16*4!}x^{4}=-\bruch{15}{384*(1+\varepsilon)^{\bruch{7}{2}}}x^{4}[/mm]
Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter abschätzen soll. Und ist das Verfahren überhaupt richtig um den Fehler abzuschätzen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:33 Mi 21.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie die Taylorpolynome [mm]P_{0},...,P_{3}[/mm] bei
> [mm]x_{0}=0[/mm] für die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{x+1}[/mm] und schätzen
> Sie den Fehler mir Hilfe des Satzes von Taylor ab.
> Hallo,
> ich brauche Hilfe beim letzten Teil der Aufgabe.
>
> Kurz meine Ergebnisse bis jetzt:
> [mm]P_{3}=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4}x^{2}+\bruch{1}{8}x^{3}[/mm]
Das stimmt nicht: [mm]P_{3}=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{{\red{8}}}x^{2}+\bruch{1}{{\red{16}}}x^{3}[/mm]
> [mm]f^{(4)}(x)=-\bruch{15}{16}(1+x)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]
>
> Restglied nach Lagrange:
>
> [mm]R_{n}(x):=\bruch{f^{n+1}(\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}=\bruch{f^{4}(\varepsilon)}{4!}(x)^{4}=\bruch{-\bruch{15}{16}(1+\varepsilon)^{-\bruch{7}{2}}}{4!}x^{4}=-\bruch{15(1+\varepsilon)^{-\bruch{7}{2}}}{16*4!}x^{4}=-\bruch{15}{384*(1+\varepsilon)^{\bruch{7}{2}}}x^{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Du kannst allerdings die 15/384 zu 3/128 kürzen.)
> Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter abschätzen soll. Und
> ist das Verfahren überhaupt richtig um den Fehler
> abzuschätzen?
[mm] |R_{n}(x)| = \bruch{3}{128} \bruch{1}{|1+\varepsilon|^{\bruch{7}{2}}}\right| |x|^4 \le \bruch{3}{128}|x|^4 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Das stimmt nicht:
> [mm]P_{3}=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{{\red{8}}}x^{2}+\bruch{1}{{\red{16}}}x^{3}[/mm]
Warum stimmt das nicht?
[mm]f^{(1)}(x)=\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}[/mm] [mm] \to[/mm] [mm]f^{(1)}(0)=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]f^{(2)}(x)=-\bruch{1}{2}(1+x)^{-\bruch{3}{2}}[/mm] [mm] \to[/mm] [mm]f^{(2)}(0)=-\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]f^{(3)}(x)=\bruch{3}{4}(1+x)^{-\bruch{5}{2}}[/mm] [mm] \to[/mm] [mm]f^{(3)}(0)=\bruch{3}{4}[/mm]
[mm]-\bruch{1}{2}:2!=-\bruch{1}{4}[/mm]
[mm]\bruch{3}{4}:3!=\bruch{1}{8}[/mm]
Gruß
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hallo,
> > Das stimmt nicht:
> >
> [mm]P_{3}=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{{\red{8}}}x^{2}+\bruch{1}{{\red{16}}}x^{3}[/mm]
>
> Warum stimmt das nicht?
weil deine ableitungen falsch sind !
> [mm]f^{(1)}(x)=\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}[/mm] [mm]\to[/mm]
> [mm]f^{(1)}(0)=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]f^{(2)}(x)=-\bruch{1}{2}(1+x)^{-\bruch{3}{2}}[/mm] [mm]\to[/mm]
hier müsste es korrekterweise lauten [mm] -\bruch{1}{4}(1+x)^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
> [mm]f^{(2)}(0)=-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]f^{(3)}(x)=\bruch{3}{4}(1+x)^{-\bruch{5}{2}}[/mm] [mm]\to[/mm]
> [mm]f^{(3)}(0)=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}:2!=-\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\bruch{3}{4}:3!=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> Gruß
lg
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