Taylor formel (sin, cos) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 30.04.2005 | | Autor: | raschid |
Mit Hilfe der Taylor-Formel sind rationale Approximationen der Funktionswerte
sin 1 und cos 1 mit einer Genauigkeit von [mm] 10^{-9} [/mm] anzugeben. Wie lauten die ersten 8 Nachkommastellen von sin 1 und cos 1?
das ist die Taylor Formel: f(x) = f(0) + f'(0) / 1! x + f''(0) / 2! [mm] x^{2} [/mm] + ... usw
Aber ich weiß nicht wie man die Formel benutzt bzw was man einsetzen muss.
Könnte jemanden für mich sinus zeigen dann kann ich cosinus selber machen, Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Rashid,
da du ja die Taylorformel an sich kennst musst du ja nur noch die Ableitungen von [mm] $\sin(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos(x)$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] bestimmen. Das sollte aber kein Problem sein.
Interessanter ist wie viele Glieder der Taylorentwicklung du betrachten musst um sicher zu sein, dass der Fehler kleiner [mm] $10^{-9}$ [/mm] liegt. Dafür musst du das Lagransche Restglied der Taylorschen Formel
[mm] $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
[/mm]
abschätzen. Wenn du mal die Ableitungen von [mm] $\sin(x)$ [/mm] gebildet hast wird dir sicherlich eine geeignete Konstante einfallen, so dass [mm] $\left| f^{(n+1)}(\zeta)\right|\le [/mm] M$ für alle [mm] $\zeta$.
[/mm]
Damit kannst du ausrechnen, wie viele Glieder du tatsächlich bestimmen musst.
Gruß Max
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