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| Aufgabe | Berechnen Sie näherungsweise durch Verwendung von Taylor Polynomen zweiter Ordnung die folgenden Werte. Verwenden Sie dazu geeignete Entwicklungsstellen [mm] x_{0}!
[/mm]
A) [mm] \wurzel{x} [/mm] für x=1,02 [mm] B)\bruch{1}{x} [/mm] für x=1.01 |
Kann mir da jemand helfen, weil im Internet von einer Ableitung nach x und y gesprochen wird, da weiß ich garnicht, wie ich das auf diese Aufgabe beziehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 24.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie näherungsweise durch Verwendung von Taylor
> Polynomen zweiter Ordnung die folgenden Werte. Verwenden
> Sie dazu geeignete Entwicklungsstellen [mm]x_{0}![/mm]
>
> A) [mm]\wurzel{x}[/mm] für x=1,02 [mm]B)\bruch{1}{x}[/mm] für x=1.01
> Kann mir da jemand helfen, weil im Internet von einer
> Ableitung nach x und y gesprochen wird, da weiß ich
> garnicht, wie ich das auf diese Aufgabe beziehen kann?
Es geht um Taylorpolynome von Funktionen einer Variablen !
Taylorpolynom 2-ter Ordnung an der Entwicklungsstelle [mm] x_0
[/mm]
[mm] $T_2(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^2 {f^{(k)}(x_0) \over k!}(x-x_0)^k$
[/mm]
Bei A) nimm f(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] und [mm] x_0=1 [/mm] und berechne [mm] T_2(1,02)
[/mm]
FRED
>
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Ist [mm] x_{o} [/mm] Standardmäßig 1 oder woran erkenne ich das?
Ich habe das jetzt (hoffentlich richtig) nach deiner Formel berechnet:
= [mm] 1+x-1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{8}+\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{8}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{8}+\bruch{7}{4}x-\bruch{5}{8}
[/mm]
Dann habe ich für x = 1,02 eingesetzt und habe als Ergebnis dann
1,02995
Soweit richtig?
Unterscheidet sich die 1 von der 2 Ordnung nur in dem [mm] x_{0}?
[/mm]
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Hallo Mareike!
> Ist [mm]x_{o}[/mm] Standardmäßig 1 oder woran erkenne ich das?
Dieser Werte liegt am nächsten an dem vorgegebenen Wert $x \ = \ 1{,}02$ dran.
> Ich habe das jetzt (hoffentlich richtig) nach deiner Formel berechnet:
>
> = [mm]1+x-1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{8}+\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{8}[/mm]
Was hast Du hier wie gerechnet? Das erschließt sich mir gerade überhaupt nicht ... ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Die Formel aus Freds Antwort lässt sich auch ausformulieren als:
[mm] $T_2(x) [/mm] \ = \ [mm] \sum_{k=0}^2 {f^{(k)}(x_0) \over k!}(x-x_0)^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f(x_0)}{0!}*(x-x_0)^0+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)^1+\bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2$
[/mm]
> Unterscheidet sich die 1 von der 2 Ordnung nur in dem [mm]x_{0}?[/mm]
Nein, 2. Ordnung besagt, dass Du die Taylor-Reihe bis einschließlich dem Term mit der 2. Ableitung verwenden sollst.
Gruß vom
Roadrunner
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Also ab x=1,51 wäre [mm] x_{0}=2?
[/mm]
Was ich gemacht habe:
1. 1und 2 Ableitungen der Funktion.
2. [mm] x_{0} [/mm] in Funktionen eingesetzt.
[mm] 3.x_{0}+{was du hingeschrieben hast} [/mm] berechnet, wie folgt:
[mm] 1+[1*(x-1)]+[-\bruch{1}{2}*(x-1)]+[-\bruch{1}{8}*(x_{2}-2x+1]
[/mm]
(ich hatte das [mm] x_{2} [/mm] versehentlich nicht eingefügt)
Was mache ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 So 24.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also ab x=1,51 wäre [mm]x_{0}=2?[/mm]
Nein, denn [mm] \sqrt{2} [/mm] ist ja erst mal nicht bekannt! du nimmst die nächst an 1.51 liegende Quadratzahl, also [mm] 1.44=1.2^2 [/mm] oder [mm] 1.69=1.3^2
[/mm]
oder du bleibst bei 1 und musst um dieselbe Genauigkeit zu erreichen ein TP höherer Ordnung nehmen.
> Was ich gemacht habe:
>
> 1. 1und 2 Ableitungen der Funktion.
warum sagst du uns nicht, was du da hast, 1. allgemein, 2. x=1 eingesetzt:
> 2. [mm]x_{0}[/mm] in Funktionen eingesetzt.
> [mm]3.x_{0}+{was du hingeschrieben hast}[/mm] berechnet, wie
> folgt:
>
> [mm]1+[1*(x-1)]+[-\bruch{1}{2}*(x-1)]+[-\bruch{1}{8}*(x_{2}-2x+1][/mm]
die 1 vorne ist f(1)=1 danach sollte f'(1)*(x-1) stehen du hast 2 Summanden (wieso, woher kommen die) zusammen also 0.5*(x-1) das ist richtig weil f'(1)=0.5
der dritte ist auch richtig, wenn man statt [mm] x_2 [/mm] richtig [mm] x^2 [/mm] schreibt. Du solltest aber die Klammer , also [mm] (x-1)^2 [/mm] besser nicht auflösen.
jetz ausrechen mit x-1=0.02 das sollte doch leicht sein
Gruss leduart
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Ich scheine irgendwas nicht zu verstehen:
f(x) = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
f(x)' = [mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
f(x)''= [mm] -\bruch{1}{4}x^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
Ja, im Grunde habe ich doch einfach eine 1 zuviel und statt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ein falsches [mm] $[red]-[/red]\bruch{1}{2}$ [/mm] stehen gehabt.
Warum schreibst du nun statt der geg. x=1.02 x-1=0.02, hat das irgendeinen tieferen Sinn?
Das mit dem [mm] x_{0} [/mm] hab ich noch nicht ganz verstanden.
Also, in dem Fall ist das [mm] x_{0} [/mm] nicht gegeben.
Anscheind kann man nicht einfach sagen, dass x=1.02 ist, also sehr nah an eins, deswegen ist [mm] x_{0}=1. [/mm]
Könntest du vielleicht so nett sein und 2-3 Beispiele mit verschiedene x Werten und den resultierenden [mm] x_{0} [/mm] nennen ?
Warum genau soll die Klammer nicht aufgelöst werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 24.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die entwicklungsstelle [mm] x_0=1 [/mm] gegeben. du hast das TP dafür hingeschrieben, jetzt kannst (und sollst) du es für x=1.02 auswerten, dann ist [mm] x-x_0=x-1=0.02
[/mm]
dann hast du einen guten Näherungswert für [mm] \wurzel{1.02}
[/mm]
wenn du für x 1.04 einsetzt kriegst du nen Näherungswert für [mm] \wurzel{1.04} [/mm] usw.
Damit du ein Gefühl für Taylorpolynome kriegst, solltest du mal in einen plot [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] und dein TP [mm] t(x)=1+0.5*(x-1)-0.125*(x-1)^2 [/mm] plotten und vergrößert zwischen z. Bsp x=0.5 und 1.5 ansehen! Was fällt dir auf? Tud wirklich!
gruss leduart
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Das ist wirklich sehr nett, dass du dir die Zeit nimmst, aber ich verstehe hier alles nur so halb.
Ich versuche das in kleinen Schritten, damit meine Verständnis nicht auf der Strecke bleibt:
Ist meine Formel richtig:
$ [mm] 1+\bruch{1}{2}\cdot{}(x-1)]+[-\bruch{1}{8}\cdot{}(x^{2}-2x+1] [/mm] $
= 1,00995
Ich kann sehen, dass [mm] \wurzel{1.02} [/mm] sehr nah am eigentlichen Ergebnis ist.
Dieses Ergebnis ist zustande bekommen, dadruch, dass ich zuvor ein korrektes [mm] x_{0} [/mm] bestimmt habe. Dieser Prozess des Bestimmens wird mir nicht ersichtlich.
So für Langsamdenker, halt ganz simple: Was für einen Schritt muss mein Kopf unternehmen, selbst wenn er nicht versteht, warum das so ist, um ein x-{0} zu bestimmen, wenn nur ein x gegeben ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 24.07.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mareike.
Man hat eine Funktion wie \wurzel{x}, sin(x), e^x, für die dir zwar dein moderner TR für alle x Werte liefert, du hast aber keine ahnung wie er das macht, bzw. wie das die leute machen, die ihn zum funktionieren kriegen.
Aber an ein paar Stellen oder wenigster Einer kennt man die Funktion und alle ihre Ableitungen.
Jetzt hast du vielleicht noch von der schule die Erfahrung mit Aufgaben wie: bestimme das Polynom 3. grades, wenn du weisst f(1),f'(1),f''(1)f'''(1)
damit kannst du ein polynom dritten Grades exakt bestimmen, wenn dus bis zur 5 ten Ableitung die werte weist bis 5 ten Grades usw.
die idee hat Herr taylor ausgebaut.
Wenn ich den Funktionswert und die 1. Ableitung einer fkt an einer Stelle x_0 kenne, dann kenne ich die Tangente da, und nahe an x_0 weicht die Tangente wenig von der funktion ab, d.h. ich rechne wenn ich den Wert bei x_0 habem den Wert bei x_0+h (h klein) auf der Tangente aus.
wenn ich h größeer mach, dann wird das immer schlechter. Idee, ich geh nicht auf der Tangente, sondern auf der "Schmiegparabel, die nicht nur dieselbe steigung hat, sondern auch dieselbe Krümmung. jetz ists schon besser, das war dein 2 tes TP, du konntest sehen wie es sich anschmiegt. aber für größere h wirs wieder schlecht, also was besseres auch noch die Änderung der Kümmung soll richtig sein, also f''' auch noch ,, usw, usw...
Zu beweisen, wie gut das ist, wenn man immer weiter macht ist aufgabe der vorlesung, ihr sollt durch das Rechnen ein Gefühl dafür kriegen, wie gut das geht. Jetzt kannst du auch ohne TR, nur mit einem Stück Papier und den kleinen 1*1 \wurzel{1,02}sehr genau, die aus 1.1 noch recht genau ausrechnen,
ebenso kannst du, weil du e^0=1 weisst e^{0.02} und e^{-0,05} ausrechnen!
FREU DICH!
Wie wähl ich x_0 wo man all sie ableitungen kennen sollte?
möglichst nahe, an dem x von dem ich den funktionswert wissen will, aber der sollte bekannt sein. Du kannst zwar theoretisch e^x um x_0=1 entwickeln, hilft dir aber nicht viel, wenn du nicht wieder nen TR hat der e^1 auf geheimnisvolle Weise kennt! also hilft da nur der einzige gut bekannte Wert e^0=1 und alle Abl sind auch 1 bei x_0=0
bei sin(x) kennst du wieder sin(0) und cos(0), sin(\pi/6} sin(\pi/4) und die entspr. cos Werte, also kannst du sin(x) nicht um 1 entwickeln, weil du sin(1) nicht kennst.
In aufgaben kriegst du meist gesagt, um welchen pkt du entwickeln sollst
Gruss leduart
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Also
bei [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x=1.01
würde ich für [mm] x_{0} [/mm] = 1 wählen, weil ich weiß, wie sich die funktion bei 1 verhällt. 2 wäre da auch ok, wird jedoch nicht genommen, weil 1 näher an 1.01 dran ist.
Wenn also in unserem ersten Beispiel x= 1,30 gewesen wäre, wäre [mm] x_{0} [/mm] bei mir 1,44 gewesen, weil ich weiß, wie sich die Funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] bei 1.44 verhält und 1.44 näher an 1.30 dran ist als 1,0 , richtig?
War denn meine Lösung zu der Aufgabe zuvor richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 So 24.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Aufgabe war richtig.
bei [mm] \wurzel{1.3} [/mm] wäre [mm] 1.21=1.1^2 [/mm] noch näher als 1.44, aber auch das wäre gut. allerdings findet man nicht für alle fkt so "nahe" Stellen, dann nimmt man ein TP höherer Ordnung, wenn du etwa [mm] \wurzel{1.3} [/mm] nur auf 3 stellen gerundet, also 2 st. hinter dem Komma willst reicht noch das 2. TP um 1 für 3 Stellen dann das 3. TP oder eben deine 1,44, oder 1.21.
da mit denen aber schon nicht mehr so leicht zu rechnen ist kann man eben auch die 1 nehmen. um 1/1.02 auszurechnen ist sicher 1 das beste und 2 viel schlechter.
Gruss leduart
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