Taylor Polynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 30.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | | Schreiben Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung [mm] T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y) [/mm] einer allgemeinen Funktion auf [mm] \IR^2 [/mm] und ebenso das Taylor-Polynom [mm] T^2_{(x_0,y_0,z_0)}g(x,y,z) [/mm] einer Funktion g auf [mm] \IR^3 [/mm] (ohne Verwendung von Summenzeichen, Multiindizes und totale Ableitungen, sondern unter verwendung der partiellen Ableitung). |
Okay irgendwie verwirrt mich diese schöne aufgabe ein wenig :D
Ich mache das ganze jetzt mal anhand von f(x,y) vor.
Ich habe also folgende Taylor-Formel benutzt:
[mm] T^k_af(x)=\summe_{|\alpha|\le k}^{} \bruch{1}{\alpha !} \partial^{\alpha}f(a)(x-a)^{\alpha}
[/mm]
Somit hab ich für:
[mm] T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y)= \summe_{|\alpha|\le 2}^{} \bruch{1}{\alpha !} \partial^{\alpha}f\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{\alpha}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{0!}\partial^0 f_1\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1!} \vektor{\partial x f_1(x_0,y_0) \\ \partial y f_1(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2!}\pmat{ \partial xx f_1(x_0,y_0) & \partial xy f_1(x_0,y_0) \\ \partial yx f_1(x_0,y_0) & \partial yy f_1(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}
[/mm]
Analog nochmal für den zweiten eintrag [mm] f_2:
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{0!}\partial^0 f_2\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1!} \vektor{\partial x f_2(x_0,y_0) \\ \partial y f_2(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2!}\pmat{ \partial xx f_2(x_0,y_0) & \partial xy f_2(x_0,y_0) \\ \partial yx f_2(x_0,y_0) & \partial yy f_2(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}
[/mm]
Also ist:
[mm] T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y):= \vektor{f_1\vektor{x_0 \\ y_0} + \vektor{\partial x f_1(x_0,y_0) \\ \partial y f_1(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2}\pmat{ \partial xx f_1(x_0,y_0) & \partial xy f_1(x_0,y_0) \\ \partial yx f_1(x_0,y_0) & \partial yy f_1(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2} \\ f_2\vektor{x_0 \\ y_0} + \vektor{\partial x f_2(x_0,y_0) \\ \partial y f_2(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2}\pmat{ \partial xx f_2(x_0,y_0) & \partial xy f_2(x_0,y_0) \\ \partial yx f_2(x_0,y_0) & \partial yy f_2(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}}
[/mm]
Stimmt das so ?
Es sieht schon ein wenig merkwürdig aus :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 So 30.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich finde keinen Fehler
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
Hey vielen dank für deine Überprüfung.
Mfg. Der Joker :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich bin neu hier im Matheraum und wollte mich mal direkt an der Beantwortung einer Frage erproben 
Zur Sache:
Ich rede jetzt über den ersten Teil der Aufgabe.
Du hast es hier doch mit Multiindizes zu tun!
Du musst hier verschiedene [mm] \alpha [/mm] für die [mm] |\alpha|\le2 [/mm] ist unterscheiden, z.B. [mm]\alpha = (0,0)[/mm], [mm]\alpha = (1,0)[/mm], [mm]\alpha = (0,1)[/mm] und [mm]\alpha = (1,1)[/mm], denn [mm]|\alpha| := \alpha_1 + ... +\alpha_n[/mm]. Wegen [mm]x^\alpha = x_1^{\alpha_1} \cdot... \cdot x_n^{\alpha_n}[/mm] musst z.B. für dein [mm]\alpha =(1,0)[/mm] gelten [mm]((x,y)-(x_0,y_0))^{(1,0)}=(x-x_0,y-y_0)^{(1,0)}=(x-x_0)^1(y-y_0)^0=(x-x_0)[/mm].
Irgendwie erscheint mir deine Lösung etwas komisch, was aber auch daran liegen kann, das ich nicht ganz in dem Thema drin bin.
Ich würde also eher:
[mm]T_{(x_0,y_0)}^2f(x,y)= f(x_0,y_0)+ \partial_1 f(x_0,y_0)(x-x_0)+...[/mm]usw. schreiben.
Aber wie gesagt ist das mein erster Schreibversuch und ich bin nicht ganz firm im Thema.
Hab also Verständnis 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Schreiben Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung
> [mm]T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y)[/mm] einer allgemeinen Funktion auf [mm]\IR^2[/mm]
> und ebenso das Taylor-Polynom [mm]T^2_{(x_0,y_0,z_0)}g(x,y,z)[/mm]
> einer Funktion g auf [mm]\IR^3[/mm] (ohne Verwendung von
> Summenzeichen, Multiindizes und totale Ableitungen, sondern
> unter verwendung der partiellen Ableitung).
> Okay irgendwie verwirrt mich diese schöne aufgabe ein
> wenig :D
>
> Ich mache das ganze jetzt mal anhand von f(x,y) vor.
>
> Ich habe also folgende Taylor-Formel benutzt:
>
> [mm]T^k_af(x)=\summe_{|\alpha|\le k}^{} \bruch{1}{\alpha !} \partial^{\alpha}f(a)(x-a)^{\alpha}[/mm]
>
>
> Somit hab ich für:
>
> [mm]T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y)= \summe_{|\alpha|\le 2}^{} \bruch{1}{\alpha !} \partial^{\alpha}f\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{\alpha}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{0!}\partial^0 f_1\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{0}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{1!} \vektor{\partial x f_1(x_0,y_0) \\ \partial y f_1(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2!}\pmat{ \partial xx f_1(x_0,y_0) & \partial xy f_1(x_0,y_0) \\ \partial yx f_1(x_0,y_0) & \partial yy f_1(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}[/mm]
>
>
> Analog nochmal für den zweiten eintrag [mm]f_2:[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{0!}\partial^0 f_2\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{0}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{1!} \vektor{\partial x f_2(x_0,y_0) \\ \partial y f_2(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2!}\pmat{ \partial xx f_2(x_0,y_0) & \partial xy f_2(x_0,y_0) \\ \partial yx f_2(x_0,y_0) & \partial yy f_2(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}[/mm]
>
>
>
> Also ist:
>
> [mm]T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y):= \vektor{f_1\vektor{x_0 \\ y_0} + \vektor{\partial x f_1(x_0,y_0) \\ \partial y f_1(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2}\pmat{ \partial xx f_1(x_0,y_0) & \partial xy f_1(x_0,y_0) \\ \partial yx f_1(x_0,y_0) & \partial yy f_1(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2} \\ f_2\vektor{x_0 \\ y_0} + \vektor{\partial x f_2(x_0,y_0) \\ \partial y f_2(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2}\pmat{ \partial xx f_2(x_0,y_0) & \partial xy f_2(x_0,y_0) \\ \partial yx f_2(x_0,y_0) & \partial yy f_2(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}}[/mm]
>
> Stimmt das so ?
> Es sieht schon ein wenig merkwürdig aus :/
Das stimmt. Und das liegt daran, weil es völliger Unfug ist.
Bei 2 Var. sieht das so aus:
[mm] $f(x_0,y_0) +(x-x_0)\, f_x(x_0,y_0 [/mm] ) + [mm] (y-y_0)f_y(x_0,y_0 )\,
[/mm]
+ [mm] \frac{1}{2!}\left[ (x-x_0)^2\, f_{xx}(x_0,y_0 )+ 2(x-x_0)(y-y_0)\,f_{xy}(x_0,y_0 )\ + (y-y_0)^2\, f_{yy}(x_0,y_0 ) \right] [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Di 02.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > Schreiben Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung
> > [mm]T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y)[/mm] einer allgemeinen Funktion auf [mm]\IR^2[/mm]
> > und ebenso das Taylor-Polynom [mm]T^2_{(x_0,y_0,z_0)}g(x,y,z)[/mm]
> > einer Funktion g auf [mm]\IR^3[/mm] (ohne Verwendung von
> > Summenzeichen, Multiindizes und totale Ableitungen, sondern
> > unter verwendung der partiellen Ableitung).
> > Okay irgendwie verwirrt mich diese schöne aufgabe ein
> > wenig :D
> >
> > Ich mache das ganze jetzt mal anhand von f(x,y) vor.
> >
> > Ich habe also folgende Taylor-Formel benutzt:
> >
> > [mm]T^k_af(x)=\summe_{|\alpha|\le k}^{} \bruch{1}{\alpha !} \partial^{\alpha}f(a)(x-a)^{\alpha}[/mm]
>
> >
> >
> > Somit hab ich für:
> >
> > [mm]T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y)= \summe_{|\alpha|\le 2}^{} \bruch{1}{\alpha !} \partial^{\alpha}f\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{\alpha}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\bruch{1}{0!}\partial^0 f_1\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{0}[/mm]
> > + [mm]\bruch{1}{1!} \vektor{\partial x f_1(x_0,y_0) \\ \partial y f_1(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2!}\pmat{ \partial xx f_1(x_0,y_0) & \partial xy f_1(x_0,y_0) \\ \partial yx f_1(x_0,y_0) & \partial yy f_1(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}[/mm]
>
> >
> >
> > Analog nochmal für den zweiten eintrag [mm]f_2:[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{1}{0!}\partial^0 f_2\vektor{x_0 \\ y_0} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{0}[/mm]
> > + [mm]\bruch{1}{1!} \vektor{\partial x f_2(x_0,y_0) \\ \partial y f_2(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2!}\pmat{ \partial xx f_2(x_0,y_0) & \partial xy f_2(x_0,y_0) \\ \partial yx f_2(x_0,y_0) & \partial yy f_2(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Also ist:
> >
> > [mm]T^2_{(x_0,y_0)}f(x,y):= \vektor{f_1\vektor{x_0 \\ y_0} + \vektor{\partial x f_1(x_0,y_0) \\ \partial y f_1(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2}\pmat{ \partial xx f_1(x_0,y_0) & \partial xy f_1(x_0,y_0) \\ \partial yx f_1(x_0,y_0) & \partial yy f_1(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2} \\ f_2\vektor{x_0 \\ y_0} + \vektor{\partial x f_2(x_0,y_0) \\ \partial y f_2(x_0,y_0)} \vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{1}+ \bruch{1}{2}\pmat{ \partial xx f_2(x_0,y_0) & \partial xy f_2(x_0,y_0) \\ \partial yx f_2(x_0,y_0) & \partial yy f_2(x_0,y_0) }\vektor{x_0-x \\ y_0-y}^{2}}[/mm]
>
> >
> > Stimmt das so ?
> > Es sieht schon ein wenig merkwürdig aus :/
>
> Das stimmt. Und das liegt daran, weil es völliger Unfug
> ist.
>
> Bei 2 Var. sieht das so aus:
>
> [mm]$f(x_0,y_0) +(x-x_0)\, f_x(x_0,y_0[/mm] ) + [mm](y-y_0)f_y(x_0,y_0 )\,[/mm]
>
> + [mm]\frac{1}{2!}\left[ (x-x_0)^2\, f_{xx}(x_0,y_0 )+ 2(x-x_0)(y-y_0)\,f_{xy}(x_0,y_0 )\ + (y-y_0)^2\, f_{yy}(x_0,y_0 ) \right][/mm]
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> FRED
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Vielen dank fred.
Soviele unterschiedlich Meinungen :S
Aber ich stimme dir zu fred, ich habe es nun glaube ich verstanden.
Im prinzip muss man nur mit der multiindex schreibweise zurecht kommen.
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