Taylor, Konvergenzradius < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Oh schön!
Bei der folgenden Aufgabe weiß ich jedoch überhaupt nicht, wie ich rangehen soll.
Könntet ihr mir da auch noch einmal helfen?
f(x)=sinx-cosx , [mm] x_0= -\pi
[/mm]
Wie geh ich da ran?
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> Oh schön!
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> Bei der folgenden Aufgabe weiß ich jedoch überhaupt
> nicht, wie ich rangehen soll.
> Könntet ihr mir da auch noch einmal helfen?
>
> f(x)=sinx-cosx , [mm]x_0= -\pi[/mm]
>
> Wie geh ich da ran?
[mm] f^{n}(x_0) [/mm] bilden und nach nem schema schauen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Das hatte ich eigentlich schon gemacht, jedoch weiß ich nicht so recht wie ich das aufschreiben soll:
f´(x)= sinx+cosx
f´´(x)= cosx-sinx
f´´´(x)=-sinx-cosx
Vorzeichenwechsel jede ungerade Ableitung -> [mm] (-1)^n [/mm] ?
und weiter? ..puhhh
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> Das hatte ich eigentlich schon gemacht, jedoch weiß ich
> nicht so recht wie ich das aufschreiben soll:
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> f´(x)= sinx+cosx
> f´´(x)= cosx-sinx
> f´´´(x)=-sinx-cosx
>
> Vorzeichenwechsel jede ungerade Ableitung -> [mm](-1)^n[/mm] ?
> und weiter? ..puhhh
wie kommst du darauf?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
das habe ich jetzt den ableitungen entnommen :/
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> das habe ich jetzt den ableitungen entnommen :/
ich krieg da _seltsamerweise_
1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1.... heraus
und da würde ich 2 funktionen draus machen, 1,3,5,.. ableitung und 2,4,6,..
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mo 20.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Also von vorne:
Ich schreibe jetzt mal alle sechs Ableitungen auf:
1. sinx+cosx
2. cosx-sinx
3.-sinx-cosx
4.sinx-cosx
5.sinx+cosx
6.cosx-sinx
du meintest ich soll zwei funktionen aufstellen.
Für die 1,3,5 Ableitung hätte ich jetzt geschrieben:
[mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (sinx-cosx)^n-1
[/mm]
wäre das so richtig?
und was schreibe ich für die 2,4,6 Ableitung hin? Wie kann man denn allgemein den Wechsel von sin zu cos aufschreiben?
Und wie füge ich die zwei Funktionen dann zusammen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Di 21.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
1. versteh ich nicht, wenn du um [mm] \pi [/mm] entwickelst, dass da immer noch ein x in [mm] f^{(n)} [/mm] steht.
2. sowohl für sin wie cos gilt f''=-f also [mm] f^{(k+2)}=-f^{(k)}
[/mm]
Gruss leduart
die Taylorreihe geht doch mit [mm] f^{(n)}(\pi)/n!*(x-\pi)^n
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 21.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hää, aber um die Taylorreihe bestimmen zu können, muss ich doch erst einmal f^(n) bestimmen, oder nicht ??
Bei den vorherigen Aufgaben, haben wir das immer so gemacht.
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> Hää, aber um die Taylorreihe bestimmen zu können, muss
> ich doch erst einmal f^(n) bestimmen, oder nicht ??
> Bei den vorherigen Aufgaben, haben wir das immer so
> gemacht.
ja, aber statt [mm] f^n(x) [/mm] solltest du besser direkt [mm] f^n(x_0) [/mm] bestimmen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 21.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich blick da überhaupt nicht mehr durch :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Di 21.06.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo mml!
Es ist gemeint, dass Du jeweils [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] -\pi$ [/mm] einsetzen sollst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 21.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hmm, das hat leduart doch schon gemacht gehabt
[mm] f^{(n)}(\pi)/n!\cdot{}(x-\pi)^n
[/mm]
daraus würde folgen:
[mm] \bruch{sin \pi - cos \pi}{n!} [/mm] * (x- [mm] \pi)^n [/mm]
das wäre jetzt also meine Taylorreihe?
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> Hmm, das hat leduart doch schon gemacht gehabt
>
> [mm]f^{(n)}(\pi)/n!\cdot{}(x-\pi)^n[/mm]
>
> daraus würde folgen:
>
> [mm]\bruch{sin \pi - cos \pi}{n!}[/mm] * (x- [mm]\pi)^n[/mm]
>
> das wäre jetzt also meine Taylorreihe?
öhm, [mm] f^n(\pi) [/mm] ist [mm] \not=sin\pi-cos\pi, [/mm] da [mm] sin\pi-cos\pi=1
[/mm]
und wir festgestellt haben, dass sich 1 und -1 abwechseln
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 21.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Öhm, was ist f^(n) [mm] (\pi) [/mm] dann? Da habe ich jetzt überhaupt keinen Überblick..
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> Öhm, was ist f^(n) [mm](\pi)[/mm] dann? Da habe ich jetzt
> überhaupt keinen Überblick..
du schriebst doch vor n paar posts:
"Also von vorne:
Ich schreibe jetzt mal alle sechs Ableitungen auf:
1. sinx+cosx
2. cosx-sinx
3.-sinx-cosx
4.sinx-cosx
5.sinx+cosx
6.cosx-sinx"
und da jetzt überall [mm] -\pi [/mm] einsetzen führt doch zu - wie ich danach schrieb:
"ich krieg da _seltsamerweise_
1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1.... heraus"
und wie man damit umgeht hab ich ja auch schon geschrieben, also am besten nochmal alles durchlesen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 21.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich will ja wirklich nicht deine Nerven strapazieren, aber du meintest ich solle
f^(n) [mm] (\pi) [/mm] bestimmen ,richtig ?
Das hatte ich ja dann auch getan (war ja falsch) und du hattest angemerkt
dass folgendes gilt: [mm] sin\pi-cos\pi=1 [/mm]
So jetzt steh ich immer noch ahnungslos da, ich denke ich habe einen Brett vor der Stirn oder so..
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> Ich will ja wirklich nicht deine Nerven strapazieren, aber
> du meintest ich solle
>
> f^(n) [mm](\pi)[/mm] bestimmen ,richtig ?
>
> Das hatte ich ja dann auch getan (war ja falsch) und du
> hattest angemerkt
>
> dass folgendes gilt: [mm]sin\pi-cos\pi=1[/mm]
dass das gilt sollte ja klar sein
>
> So jetzt steh ich immer noch ahnungslos da, ich denke ich
> habe einen Brett vor der Stirn oder so..
aber du hast halt ALLGEMEIN [mm] (f^n(\red{x}))die [/mm] ableitungen bestimmt, was ja nicht falsch ist.
will man aber ne potenzreihe draus machen, setzt man für das allgemeine x den entwicklungspunkt ein, hier [mm] x_0=-\pi
[/mm]
dann schaut man sich hiervon die werte an, und versucht ein muster zu erkennen, welches man in eine formel packt
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 21.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
soll ich jetzt also [mm] x_0 [/mm] in die einzelnen ableitungen noch einmal einsetzen?
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Du benutzt doch jedes Mal eine andere (die nächste) Ableitung und kannst deshalb nicht jeden Summanden mit
[mm] sin\pi-cos\pi=1 [/mm] bezeichnen. Außerdem kannst du doch - statt solch einen umständlichen Term zu schreiben, sofort den Zahlenwert benutzen.
Konkret: Du hast für die Ableitungen im Entwicklungspunkt [mm] -\pi [/mm] der reihe nach die Werte 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, ... erhalten. Deshalb lautet die taylorentwicklung nun ganz einfach
f(x) = [mm] \bruch{1}{0!}+\bruch{-1}{1!}(x+\pi)+\bruch{-1}{2!}(x+\pi)^2+\bruch{1}{3!}(x+\pi)^3+\bruch{1}{4!}(x+\pi)^4+\bruch{-1}{5!}(x+\pi)^5+...
[/mm]
(Wegen [mm] (x-x_0) [/mm] muss es [mm] (x+\pi) [/mm] und nicht [mm] (x-\pi) [/mm] heißen.)
Mathematische Feinschmecker versuchen nun noch, eine Formel für die abwechselnden 1,-1,-1,1,1,-1,-1,... zu finden...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 22.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich will auch ein Mathematischer Feinschmecker sein =D .
Wie stell ich solch eine Formel auf?
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> Ich will auch ein Mathematischer Feinschmecker sein =D .
> Wie stell ich solch eine Formel auf?
hallo, hab ich zwar schonmal geschrieben, aber
du hast 1,-1,-1,1,1,-1,-1...
davon die geraden ableitungen (0.,2.,4.,..) sind ja 1, -1, 1
und die kann man mit [mm] f^{2n}(-\pi)=(-1)^{n} [/mm] darstellen
probe: n=0
[mm] f(-\pi)=1
[/mm]
jo
n=1
[mm] f^{2}(-\pi)=(-1)^1=-1
[/mm]
jo
n=2
[mm] f^{4}(-\pi)=(-1)^2=1
[/mm]
jo
nun du für die ungeraden
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 22.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ungeraden Ableitungen:
n=0
[mm] f´(-\pi)=-1 [/mm] ,jo
n=1
f´´´(- [mm] \pi) [/mm] =1 ,jo
n=2
f´´´´´(- [mm] \pi)= [/mm] -1 , jo
und weiter ?
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Nein, nicht schon wieder Ableitungen. Nimm
[mm] (-1)^{\bruch{n(n+1)}{2}}
[/mm]
als Faktor. Der Exponent gibt die Summe der nat. Zahlen von 0 bis n an und liefert der Reihe nach 0,1,3,6,10,15,21,28,36,...
also eine gerade und dann immer abwechselnd zwei ungerade und zwei gerade Zahlen. Mit der -1 als basis erhältst du dann genau die richtigen Faktoren.
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