Taylor Entwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 25.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie f(x,y):= [mm] \frac{x}{y} [/mm] im Punkt x=(1,1) als Taylorpolynom bis n=2. |
Hallo,
ich glaub ich hab es noch nicht ganz verstanden. Mein Taylorpolynom sieht ja allgemein so aus:
[mm] $T^k(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\leq k}{\frac{1}{\alpha !}D^{\alpha}f(x)}h^{\alpha}$
[/mm]
Also bei mir speziell:
x=(1,1)
[mm] $T_{f}^{2}=\frac{1}{0!}f(1,1)+\frac{1}{1!}f_x(1,1)(x-1)+\frac{1}{1!}f_y(1,1)(y-1)+\frac{1}{2!}f_{xx}(1,1)(x-1)^2+\frac{1}{2!}f_{yy}(1,1)(y-1)^2+\frac{1}{1!1!}f_{yx}(1,1)(y-1)(x-1)+\frac{1}{1!1!}f_{xy}(1,1)(y-1)(x-1)$
[/mm]
meine Ableitungen sind:
[mm] $f_x=\frac{1}{y}$
[/mm]
[mm] $f_{yx}=\frac{-1}{y^2}$
[/mm]
[mm] $f_{xx}=0$
[/mm]
[mm] $f_y=\frac{-x}{y^2}$
[/mm]
[mm] $f_{xy}=\frac{-1}{y^2}$
[/mm]
[mm] $f_{yy}=\frac{2x}{y^3}$
[/mm]
[mm] $T_{f}^{2}=1+(x-1)+(y-1)+(y-1)^2-(x-1)(y-1)\red{-(x-1)(y-1)}$
[/mm]
Der rote Term ist laut Musterlösung zu viel. Genauers steht da auch nicht. Laut Maple ist dieser Term wirklich zu viel. Habe ich das Taylorpolynom falsch augestellt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 So 25.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, du musst dich für einen Summanden entscheiden: der mit [mm] f_{xy} [/mm] oder der mit [mm] f_{yx}, [/mm] aber beide haben geht nicht! Denn du musst ja jedes dieser [mm] \alpha-Tupel [/mm] genau einmal drinnen haben, also (0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1) und (0,2). Das (1,1) hast du 2mal drinnen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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