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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 Do 06.10.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | | Geben Sie die Taylor-Reihe der für x>2 durch f(x) = ln(x-2) definierten reellen Funktion f an der Entwicklungsstelle [mm] x_0= [/mm] 7 an. |
Hallo 
Ich muss doch erstmal die Ableitungen bilden oder ?
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] ; f''(x) = - [mm] \bruch{1}{(x-2)^2} [/mm] ; f'''(x) = [mm] \bruch{2}{(x-2)^3} [/mm] ; ....
Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt
f^(^k^) (x) = - [mm] \bruch{1}{(x-2)^k} [/mm] für k=0,1,2,... sagen und die Entwicklungsstelle in die Funktion einsetzen, aber das ist bestimmt falsch.
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Hallo carlo,
> Geben Sie die Taylor-Reihe der für x>2 durch f(x) =
> ln(x-2) definierten reellen Funktion f an der
> Entwicklungsstelle [mm]x_0=[/mm] 7 an.
> Hallo
>
> Ich muss doch erstmal die Ableitungen bilden oder ?
Guter Plan.
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] ; f''(x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] ;
> f'''(x) = [mm]\bruch{2}{(x-2)^3}[/mm] ; ....
Bis hier noch gut. Achte mal auf den Zähler.
> Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt
>
> f^(^k^) (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^k}[/mm] für k=0,1,2,... sagen
Nee. Sind Deine Ableitungen oben denn alle negativ? Und wie war das mit dem Zähler?
> und die Entwicklungsstelle in die Funktion einsetzen, aber
> das ist bestimmt falsch.
Na, wie das weitergeht, kannst Du ja leicht ![[]](/images/popup.gif) nachschlagen, oder?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Do 06.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Hallo reverend,
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> > f'(x) = [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] ; f''(x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] ;
> > f'''(x) = [mm]\bruch{2}{(x-2)^3}[/mm] ; ....
>
> Bis hier noch gut. Achte mal auf den Zähler.
>
> > Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt
> >
> > f^(^k^) (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^k}[/mm] für k=0,1,2,... sagen
>
> Nee. Sind Deine Ableitungen oben denn alle negativ? Und wie
> war das mit dem Zähler?
Nein, die Ableitungen sind einmal negativ und einmal positiv und es geht immer so weiter. Ich weiß nicht, wie ich das darstellen soll. :S
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Hallo Carlo,
> > > f'(x) = [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] ; f''(x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] ;
> > > f'''(x) = [mm]\bruch{2}{(x-2)^3}[/mm] ; ....
> >
> > Bis hier noch gut. Achte mal auf den Zähler.
> >
> > > Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt
> > >
> > > f^(^k^) (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^k}[/mm] für k=0,1,2,... sagen
> >
> > Nee. Sind Deine Ableitungen oben denn alle negativ? Und wie
> > war das mit dem Zähler?
>
> Nein, die Ableitungen sind einmal negativ und einmal
> positiv und es geht immer so weiter.
So ist es.
> Ich weiß nicht, wie
> ich das darstellen soll. :S
Nehmen wir mal an, es sei [mm] f^{(n)}(x)=\bruch{a}{(x-2)^{n}}
[/mm]
Dann ist offenbar [mm] f^{(n+1)}(x)=-\bruch{n*a}{(x-2)^{n+1}}
[/mm]
Soweit die rekursive Darstellung. Wenn Du das nun mit Deinen ersten paar Ableitungen vergleichst, kommst du schnell darauf, dass
[mm] f^{n}=(-1)^{n+1}*\bruch{a(n)}{(x-2)^n} [/mm] ist.
Es bleibt aber noch a(n) zu bestimmen. Und wir wissen, dass a(n+1)=n*a(n) ist.
Also ist für n>1
[mm] a(n)=\produkt_{i=1}^{n-1}i
[/mm]
Die rechte Seite taucht so oft in Gleichungen auf, dass es dafür eine eigene Schreibweise gibt!!! Und so, wie die definiert ist, kannst Du die gleiche Schreibweise sogar auf alle n (incl. n=1) ausdehnen!
So, genug Ausrufungszeichen. 
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
So gehts auch:
Es ist
$f'(x) = [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}*\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(x-7)^n}{5^{n+1}} [/mm] $ für |x-7|<5.
Jetzt noch einmal integrieren.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich versteh ja, dass du das ganze mit der harmonischen Reihe versucht hast, aber woher kommt das 1/5 her. Das kann ich nicht nachvollziehen.
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Hallo Carlo,
> Ich versteh ja, dass du das ganze mit der harmonischen
> Reihe
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") wohl eher mit der geometrischen Reihe ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
> versucht hast, aber woher kommt das 1/5 her. Das kann
> ich nicht nachvollziehen.
Da du um [mm]x_0=7[/mm] entwickeln sollst, musst du nachher in der Reihe ja irgendwas mit [mm](x-7)^n[/mm] dastehen haben.
Daher wird im Nenner gebastelt:
Nur der Nenner: [mm]x-2=x\red{-7+7}-2=(x-7)+5=5\cdot{}\left(\frac{x-7}{5}+1\right)}=5\cdot{}\left[1-\left(-\frac{x-7}{5}\right)\right][/mm]
Also [mm]\frac{1}{x-2}=\frac{1}{5}\cdot{}\frac{1}{1-\left(-\frac{x-7}{5}\right)}[/mm]
[mm]=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n[/mm] für [mm]\left|-\frac{x-7}{5}\right|<1[/mm] nach Formel für die geometr. Reihe.
Kommst du nun auf Freds "Endausdruck"?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Ehrlich gesagt, immer noch nicht.
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Hallo nochmal,
> Ehrlich gesagt, immer noch nicht.
warum nicht?
Du brauchst doch nur stadtbekannte Potenzgesetze anzuwenden:
[mm] $(a\cdot{}b)^n=a^n\cdot{}b^n$ [/mm] und [mm] $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
[/mm]
Die [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] kannst du am Ende in die Reihe reinmultiplizieren.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Um genau zu sein versteh ich diesen Schritt nicht:
[mm] \bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(x-7)^n}{5^{n+1}}
[/mm]
woher kommt plötzlich [mm] (-1)^n [/mm] und auch der restliche Teil leuchtet mir nicht wirklich ein..
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Hallo,
> Um genau zu sein versteh ich diesen Schritt nicht:
>
> [mm]\bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(x-7)^n}{5^{n+1}}[/mm]
>
>
> woher kommt plötzlich [mm](-1)^n[/mm] und auch der restliche Teil
> leuchtet mir nicht wirklich ein..
Ich habe es doch extra oben hingeschrieben. Hast du das nicht gelesen??!
Erstmal ist das [mm] $...=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n$
[/mm]
Nun wende mal wie erwähnt die Potenzgesetze an und schreibe die Klammer um
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
okay, aber eine Frage vorab:
wie kommt man von
[mm] \bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n [/mm]
??
Danach hat man das Potenzgesetz [mm] (a/b)^n [/mm] = [mm] a^n [/mm] / [mm] b^n [/mm] angewandt stimmts?
[mm] \frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{(x-7)^n}{5^n}\right)
[/mm]
da hörts wieder auf..
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Hallo nochmal,
> okay, aber eine Frage vorab:
>
> wie kommt man von
>
> [mm]\bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n[/mm]
>
> ??
>
> Danach hat man das Potenzgesetz [mm](a/b)^n[/mm] = [mm]a^n[/mm] / [mm]b^n[/mm]
> angewandt stimmts?
>
> [mm]\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{(x-7)^n}{5^n}\right)[/mm]
>
>
> da hörts wieder auf..
Mann, Mann ...
[mm]\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n=\left[(-1)\cdot{}\frac{x-7}{5}\right]^n=\left(\frac{-1}{5}\cdot{}(x-7)\right)^n=\left(\frac{-1}{5}\right)^n\cdot{}(x-7)^n=\frac{(-1)^n}{5^n}\cdot{}(x-7)^n[/mm]
Das passiert in der Summe; dann noch die [mm]\frac{1}{5}[/mm] reinmultiplizieren, das macht aus dem [mm]\frac{1}{5^n}[/mm] dann [mm]\frac{1}{5}\cdot{}\frac{1}{5^n}=\frac{1}{5^{n+1}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Danke für deine Geduld!
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