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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Begründe die von Physikern beliebten Näherungen [mm] sinx\approx [/mm] x, [mm] cosx\approx [/mm] 1 und [mm] tanx\approx [/mm] x für "kleine" x [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo,
zur Teilaufgabe sin x:
bei der Aufgabe wollte ich die Taylorsche Formel benutzen.
Zuerst eine Frage zum Restglied:
Da sin unendlich viel differenzierbar ist, geht beim Restglied [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] gegen Null. Damit der ganze Restglied gegen 0 geht, muss man noch das Integral beachten. Was passiert also mit dem Restglied, wenn n gegen unendlich geht? Wenn der ganze Restglied gegen 0 geht, dann kann man hier die Taylorsche Formel ohne den Restglied anwenden.
Zweite Frage: Wie soll man bei dieser Aufgabe vorgehen?
Ich würde für f(x) sinx gleichsetzen und dann die Ableitungen berechnen. Die zentrale Frage ist hier für mich : welchen Wert soll man für a einsetzen und welche Rolle spielt a (konkret) bei der TaylorEntwicklung ?
Viele Grüße
Igor
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> Begründe die von Physikern beliebten Näherungen [mm]sinx\approx[/mm]
> x, [mm]cosx\approx[/mm] 1 und [mm]tanx\approx[/mm] x für "kleine" x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Hallo,
>
> zur Teilaufgabe sin x:
>
> bei der Aufgabe wollte ich die Taylorsche Formel benutzen.
Hallo,
das ist eine sehr gute Idee.
>
> Zuerst eine Frage zum Restglied:
> Da sin unendlich viel differenzierbar ist, geht beim
> Restglied [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] gegen Null. Damit der ganze
> Restglied gegen 0 geht, muss man noch das Integral
> beachten. Was passiert also mit dem Restglied, wenn n gegen
> unendlich geht?
Wenn [mm] n\to \infty [/mm] hast Du ja die Taylorreihe von sin x vorliegen, welche auf ganz [mm] \IR [/mm] konvergiert. Es ist die Funktion gleich ihrer Taylorreihe, und einen Fehler gibt's nicht mehr.
> Zweite Frage: Wie soll man bei dieser Aufgabe vorgehen?
> Ich würde für f(x) sinx gleichsetzen und dann die
> Ableitungen berechnen. Die zentrale Frage ist hier für mich
> : welchen Wert soll man für a einsetzen und welche Rolle
> spielt a (konkret) bei der TaylorEntwicklung ?
Die Taylorentwicklung macht man ja, weil es viel einfacher ist, mit Polynomem zu rechnen als mit irgendwelchen anderen "krausen" Funktionen.
Mit der Taylorentwicklung im Punkt a hat man ein Polynom gefunden, welches in der Nähe von a die Funktion durch eine Polynom annähert, über die Güte der Nährung gibt das Restglied Auskunft.
Physiker sind zwar mitunter ein wenig naßforsch, aber i.d.R. nicht dumm, und so würde wohl kein Physiker auf die Idee kommen, für [mm] sin(38\pi) [/mm] die Näherung [mm] 38\pi [/mm] zu verwenden.
Physiker verwenden die Näherung [mm] \sin\x\approx [/mm] x nur für solche x, die nahe bei Null sind.
Hiermit sollte die Frage nach dem Entwicklungspunkt a geklärt sein.
Tu nun folgendes: berechne das zweite Taylorpolynom von [mm] \sin\x [/mm] und und schau Dir das Restglied an. Es sollte klein sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Angela,
a=0 ?
Was hast Du mit dem zweiten(!) Taylorpolynom gemeint?
Gruss
Igor
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> Hallo Angela,
>
> a=0 ?
Ja.
>
> Was hast Du mit dem zweiten(!) Taylorpolynom gemeint?
>
Aufgepaßt: ich habe übers zweite Taylorpolynom geredet und nicht etwa über eine zweite Taylorreihe.
Guck mal ![[]](/images/popup.gif) da, dann sollte alles klar werden.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Sa 15.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich als Physiker würde cosx=1 nicht benutzen- schlechte Näherung!
[mm] cosx=1-x^2/2 [/mm] ist üblicher.
Aber statt lange mit Taylor zu operieren: Physiker ersetzen Jede Funktion, die schlecht ins Konzept passt in der Umgebung eines Punktes [mm] x_0 [/mm] durch die Tangente in dem Punkt [mm] x_0. [/mm] Man kann auch sagen, sie "linearisieren"
Wenn der Pkt, auch noch ein Wendepunkt ist (sinx bei x=0,tanx bei x=0) ist die Näherung besonders gut!
cosx=1 dagegen ist ne schlechte Näherung, wegen der waagerechten Tangente.
Gruss leduart
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