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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zum ![[]](/images/popup.gif) Skripthabe ich ein paar Fragen:
1)Auf der Seite 146 des Skriptes steht fast ganz oben über die Approximierung einer Funktion durch ein Polynom in einem Punkt p [mm] \in [/mm] D .
Meine Frage ist: wenn die Funktion f als Variable t hat,dann hat auch das Pölynom bzw. die Reihe als Variable t (stimmt es?).Wenn man jetzt das Polynom an der Stelle p anschaut, dann kann man dafür folgendes schreiben: [mm] T^{n}_{p}(f)(p)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{[k]}(p)}{k!}*p^{k}.
[/mm]
Wurde das so gemeint?? Der Entwicklungspunkt ist p, und wenn ich es richtig verstehe, dann wird die Funktion in einer kleinen(!) Umgebung von p durch das Polynom approximiert. Was ich nicht klar finde, ist, dass bei "Forster" als Taylorpolynom [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{[k]}(p)}{k!}* [/mm] [mm] (t-p)^{k} [/mm] definiert wird( t-p) . Warum?
2) Bei der Bemerkung VII.1.2. wird behauptet,dass [mm] T^{n}_{p}(f) [/mm] das eindeutig bestimmte Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n mit [mm] T^{n}_{p}(f)^{[k]}(0)= [/mm] f{[k]}(p). Jedoch , es wird nicht bewiesen. Wie kann man also die Aussage nachweisen ? [mm] T^{n}_{p}(f)(t) [/mm] wurde oben definiert, aber was bedeutet der Ausdruck [mm] T^{n}_{p}(f)^{[k]}(0)?(wurde [/mm] das definiert?)
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> zum
> Skripthabe
> ich ein paar Fragen:
> 1)Auf der Seite 146 des Skriptes steht fast ganz oben über
> die Approximierung einer Funktion durch ein Polynom in
> einem Punkt p [mm]\in[/mm] D .
> Meine Frage ist: wenn die Funktion f als Variable t
> hat,dann hat auch das Pölynom bzw. die Reihe als Variable t
> (stimmt es?).Wenn man jetzt das Polynom an der Stelle p
> anschaut, dann kann man dafür folgendes schreiben:
> [mm]T^{n}_{p}(f)(p)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{[k]}(p)}{k!}*p^{k}.[/mm]
>
Da hat sich doch ein Druckfehler eingeschlichen.
Korrekt lautet das so:
[mm]T^{n}_{p}(f)(p)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{[k]}(p)}{k!}*\left(p\red{-p}\right)^{k}[/mm]
> Wurde das so gemeint?? Der Entwicklungspunkt ist p, und
> wenn ich es richtig verstehe, dann wird die Funktion in
> einer kleinen(!) Umgebung von p durch das Polynom
> approximiert. Was ich nicht klar finde, ist, dass bei
> "Forster" als Taylorpolynom
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{[k]}(p)}{k!}*[/mm] [mm](t-p)^{k}[/mm] definiert
> wird( t-p) . Warum?
Das Taylorpolynom ist so definiert.
>
> 2) Bei der Bemerkung VII.1.2. wird behauptet,dass
> [mm]T^{n}_{p}(f)[/mm] das eindeutig bestimmte Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] n
> mit [mm]T^{n}_{p}(f)^{[k]}(0)=[/mm] f{[k]}(p). Jedoch , es wird
> nicht bewiesen. Wie kann man also die Aussage nachweisen ?
Das stimmt auch nicht ganz:
[mm]T^{n}_{p}\left(f\right)^{[k]}\left(\red{p}\right)=f{[k]}\left(p\right)[/mm]
Leite das n. Taylorpolynom k-mal ab.
> [mm]T^{n}_{p}(f)(t)[/mm] wurde oben definiert, aber was bedeutet der
> Ausdruck [mm]T^{n}_{p}(f)^{[k]}(0)?(wurde[/mm] das definiert?)
Das ist die k. Ableitung des n. ten Taylorpolynoms von der Funktion f, hier an der Stelle 0.
>
> Gruss
> Igor
>
Gruß
MathePower
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