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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | | Bilden Sie das Taylorpolynom an der Stelle (x,y)=(3,1) von [mm] f(x,y)(x+2y)^{-1} [/mm] vom Grad 2 |
Hallo, ich bin grade dabei Taylorentwicklungen zu üben, und habe die Aufgabe von folgender Seite:
https://matheraum.de/forum/Taylor_im_mehrdimensionalen/t391396
Ich bin ein wenig verwirrt, wieso in dem Ergebnis 4! steht.
Meine Entwicklung wäre
[mm] T_{2}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}-\bruch{1}{25}(x-3) [/mm] - [mm] \bruch{2}{25}(y-1) [/mm] + [mm] \bruch{2}{125 * 2!} (x-3)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{8}{125 * 2!}(x-1)^{2}+\bruch{4}{125*2!}(x-3)(y-1)
[/mm]
Wäre es dann (x-3)(y-1) oder [mm] (x-3)^{2}(y-1)^{2} [/mm] ?
Was ist nun richtig? 4! oder 2!? Wo liegt der Fehler?
Würde mich sehr über Hilfe freuen =)
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bilden Sie das Taylorpolynom an der Stelle (x,y)=(3,1) von
> [mm]f(x,y)(x+2y)^{-1}[/mm] vom Grad 2
> Hallo, ich bin grade dabei Taylorentwicklungen zu üben,
> und habe die Aufgabe von folgender Seite:
>
> https://matheraum.de/forum/Taylor_im_mehrdimensionalen/t391396
>
> Ich bin ein wenig verwirrt, wieso in dem Ergebnis 4!
Es gilt:
(*) [mm] $T_2(x,y) \,= [/mm] f(a,b) [mm] +(x-a)\, f_x(a,b) [/mm] + [mm] (y-b)f_y(a,b) \,+ \frac{1}{2!}\left[ (x-a)^2\, f_{xx}(a,b) + 2(x-a)\,f_{xy}(a,b)\,(y-b) + (y-b)^2\, f_{yy}(a,b) \right]. [/mm] $
> steht.
>
> Meine Entwicklung wäre
>
> [mm]T_{2}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}-\bruch{1}{25}(x-3)[/mm] -
> [mm]\bruch{2}{25}(y-1)[/mm] + [mm]\bruch{2}{125 * 2!} (x-3)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{8}{125 * 2!}(x-1)^{2}+\bruch{4}{125*2!}(x-3)(y-1)[/mm]
>
> Wäre es dann (x-3)(y-1) oder [mm](x-3)^{2}(y-1)^{2}[/mm] ?
>
> Was ist nun richtig? 4! oder 2!? Wo liegt der Fehler?
>
> Würde mich sehr über Hilfe freuen =)
In (*) mußt Du a=3 und b=1 setzen
FRED
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Do 22.07.2010 | | Autor: | Vicky89 |
ja stimmt denn mein ergebnis nun oder nicht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Do 22.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum entnimmst du dem post nicht, dass da 2! im nenner steht, aber bei [mm] f_{xy} [/mm] scheint mir bei dir der Faktor 2 im Zähler zu fehlen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Vicky89 |
naja, weil ich keine fehler finde und wissen wollte, was nun richtig ist.
ja, der faktor 2 fehlt. aber wo kommt der denn her?! den kann ich in der definition gar nicht erkennen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 23.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Faktor 2 steht doch bei der gemischten Ableitung in der Tayloformel?
Gruss leduart
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Hi Matheraum,
ich würde gerne, statt zuerst die Ableitungen der Ausgangsfunktion zu bilden und dann den Entwicklungspunkt einzusetzen, die Funktion $ [mm] f(x,y)=\bruch{1}{x+2y} [/mm] $ mit der geom. Reihe approximieren und dann deren Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle bilden:
Es gilt ja: $ [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] $ , für $ |q| < 1 $
$ [mm] \Rightarrow \bruch{1}{x+2y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-(1+x+2y)} [/mm] $ , da nun aber 1+x+2y für (3,1) größer als 1 ist (1+6+2=9), kann ich für den Entwicklungspunkt (3,1) hier nicht so vorgehen, oder?
Ciao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Di 27.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi Matheraum,
>
> ich würde gerne, statt zuerst die Ableitungen der
> Ausgangsfunktion zu bilden und dann den Entwicklungspunkt
> einzusetzen, die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{1}{x+2y}[/mm] mit der
> geom. Reihe approximieren und dann deren Taylorpolynom an
> der Entwicklungsstelle bilden:
>
> Es gilt ja: [mm]\bruch{1}{1-q} = \summe_{k=0}^{\infty}q^k[/mm] ,
> für [mm]|q| < 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x+2y} = \bruch{1}{1-(1+x+2y)} [/mm] , da
> nun aber 1+x+2y für (3,1) größer als 1 ist (1+6+2=9),
> kann ich für den Entwicklungspunkt (3,1) hier nicht so
> vorgehen, oder?
nein, so kannst Du nicht vorgehen.
FRED
>
>
> Ciao
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