Taylor- bzw. Potenzreihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Bei folgenden Aufgaben komme ich nicht weiter:
1. Gegeben seien f(x) = sin 3x und die Entwicklungsstelle [mm] x_{0} [/mm] = - [mm] \pi/3 [/mm] .
Bestimmen Sie die Taylor- bzw. Potenzreihe.
Lösung:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (-1)^(k+1) {(2k + [mm] 1)!}^{-1}3^{2k+1}(x+(\pi/3))^{2k+1}
[/mm]
Wie geht das??
f'(x) = 3 cos 3x, f''(x) = -9 sin 3x, f'''(x) = -27 cos 3x
Oder 2. Es soll die Potenzreihen- bzw. Taylorentwicklung (Entwicklungsstelle x = [mm] x_{0} [/mm] = 0) bis zur 3. Potenz von folgender Funktion bestimmt werden. Man benutze bekannte Potenzreihenentwicklungen elementarer Funktionen: (2x)/ln(1+x)
Lösung: 2 + x - [mm] (1/6)x^{2} [/mm] + [mm] (1/12)x^{3} [/mm] + -...
[mm] f(x_{0}) [/mm] ist doch 0 und nicht 2. Und auch wenn ich [mm] x_{0} [/mm] in die 1. Ableitung von f(x) einsetze kommt 0 heraus und nicht x usw.
Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
1. Erstmal musst du die Taylorreihe kennen:
[mm] $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
[/mm]
D.h. es werden alle Ableitungen [mm] $f^{(k)}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] benötigt.
Es gilt mit [mm] $x_0=-\frac{\pi}{3}$:
[/mm]
[mm] $f^{(0)}(x_0)=f(x_0)=\sin(-\pi)=0$
[/mm]
[mm] $f^{(1)}(x_0)=f'(x_0)=3 \cos(-\pi)=-3$
[/mm]
[mm] $f^{(2)}(x_0)=f''(x_0)=-9 \sin(-\pi)=0$
[/mm]
[mm] $f^{(3)}(x_0)=f'''(x_0)=-27 \cos(-\pi)=27$
[/mm]
...
[mm] $f^{(2k)}(x_0)=0$ [/mm] und
[mm] $f^{(2k+1)}(x_0)=(-1)^k \cdot 3^{2k+1}$
[/mm]
Setzt du diese Wert in die Taylorformel ein, folgt direkt das gewünschte Ergebnis.
2. Also ich versteh nicht hundertprozentig was die meinen mit "Man benutze bekannte Potenzreihenentwicklungen elementarer Funktionen". Habt ihr schon die Potenzreihe für [mm] $\ln(1+x)$ [/mm] um [mm] $x_0=0$? [/mm] Naja, wenn du den Grenzwert für [mm] $x_0 \to [/mm] 0$ betrachtest kommst du in eine [mm] $\frac{0}{0}$-Situation, [/mm] d.h. der Grenzwert kann existieren und einen Wert haben. Man kann zeigen mit der L'Hospitalschen Regel das der Grenzwert $2$ ist, oder man zeigt es einfach indem man die Potenzreihe aufstellt 
Dumm ist halt, dass bei der Berechnug der Ableitungen für die Funktion immer der Grenzwert der Ableitungen für [mm] $x_0 [/mm] ->0$ bestimmt werden muss, da immer [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] auftaucht. Von daher wahrscheinlich auch der Tipp mit den elementaren Potenzreihen, da kann ich aber nicht helfen.
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