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| Aufgabe | | Geben Sie die Taylor-Reihe der für x>2 durch f(x)= ln(x-2) definierten reellen Funktion f an der Entwicklungsstelle [mm] x_o=7 [/mm] an. |
Hallo Forummitglieder,
ich habe zunächst einmal die ersten vier Ableitungen gebildet:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x-2}
[/mm]
f''(x) = - [mm] \bruch{1}{(x-2)^2}
[/mm]
f'''(x) = [mm] \bruch{2}{(x-2)^3}
[/mm]
f''''(x) = - [mm] \bruch{6}{(x-2)^4}
[/mm]
Nun habe ich versucht einen allgemeinen Ausdruck zu finden:
f^(n) (x) = [mm] \bruch{(-1)^(^n^+^1^) * (n-1)!}{(x-2)^n}
[/mm]
und dann den Entwicklungspunkt eingesetzt:
f^(n) (7) = [mm] \bruch{(-1)^(^n^+^1^) * (n-1)!}{(5)^n}
[/mm]
weiterhin diesen Ausdruck in die Taylorreihe eingesetzt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^(^n^+^1^)}{(5)^n * n} [/mm] * [mm] (x-7)^n
[/mm]
Ist das so richtig?
Ich bedanke mich für die Hilfe!
Mathemonster123
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
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> > > Geben Sie die Taylor-Reihe der für x>2 durch f(x)= ln(x-2)
> > > definierten reellen Funktion f an der Entwicklungsstelle
> > > [mm]x_o=7[/mm] an.
> > > Hallo Forummitglieder,
> > >
> > > ich habe zunächst einmal die ersten vier Ableitungen
> > > gebildet:
> > >
> > > f'(x) = [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > >
> > > f''(x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm]
> > >
> > > f'''(x) = [mm]\bruch{2}{(x-2)^3}[/mm]
> > >
> > > f''''(x) = - [mm]\bruch{6}{(x-2)^4}[/mm]
> > >
> > > Nun habe ich versucht einen allgemeinen Ausdruck zu
> > > finden:
> > >
> > > f^(n) (x) = [mm]\bruch{(-1)^(^n^+^1^) * (n-1)!}{(x-2)^n}[/mm]
> >
>
> > Für [mm]n\ge 1[/mm]
> >
> > Das müsstest du streng genommen per Induktion beweisen
> > ...
>
>
> Wir haben es aber in den Übungen ohne Induktion gemacht.
> Ich weiß nicht, wie ich es mit Induktion machen kann :/
Wie immer bei einer Induktion, zeige den IA (für n=1) und mache den Induktionsschluss.
Nimm an, dass für ein [mm]n\in\IN, n\ge 1[/mm] die n-te Ableitung die obige allg. Form hat und berechne davon die Ableitung, dann hast du die (n+1)-te Ableitung. Bringe die in die Form deines allg. Ausdrucks (anstelle eines jeden n sollte dann ein n+1 stehen, wenn alles richtig ist)
>
> > > weiterhin diesen Ausdruck in die Taylorreihe eingesetzt:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^(^n^+^1^)}{(5)^n * n}[/mm] * [mm](x-7)^n[/mm]
> >
> > Naja, fast, was ist aber mit dem Summanden für [mm]n=0[/mm] ?
> >
>
> Das verstehe ich nicht ganz :/
Was verstehst du daran nicht? Du musst schon konkreter werden mit deiner Frage.
Für [mm]n=0[/mm] ist dein "[mm]a_n[/mm]" nicht definiert. Durch 0 teilen ist verboten!
Schreibe die Reihe als [mm]\frac{f^{(0)}(7)}{0!}\cdot{}(x-7)^0 \ + \ \sum\limits_{n\ge 1}\frac{f^{(n)}(7)}{n!}\cdot{}(x-7)^n[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> Was verstehst du daran nicht? Du musst schon konkreter
> werden mit deiner Frage.
>
> Für [mm]n=0[/mm] ist dein "[mm]a_n[/mm]" nicht definiert. Durch 0 teilen ist
> verboten!
>
> Schreibe die Reihe als [mm]\frac{f^{(0)}(7)}{0!}\cdot{}(x-7)^0 \ + \ \sum\limits_{n\ge 1}\frac{f^{(n)}(7)}{n!}\cdot{}(x-7)^n[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Muss ich den bestimmten Ausdruck, den ich gefunden habe, hier --> [mm]\frac{f^{(0)}(7)}{0!}\cdot{}(x-7)^0 \ + \ \sum\limits_{n\ge 1}\frac{f^{(n)}(7)}{n!}\cdot{}(x-7)^n[/mm] einsetzen? Oder verstehe ich es falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 24.07.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Was verstehst du daran nicht? Du musst schon konkreter
> > werden mit deiner Frage.
> >
> > Für [mm]n=0[/mm] ist dein "[mm]a_n[/mm]" nicht definiert. Durch 0 teilen ist
> > verboten!
> >
> > Schreibe die Reihe als [mm]\frac{f^{(0)}(7)}{0!}\cdot{}(x-7)^0 \ + \ \sum\limits_{n\ge 1}\frac{f^{(n)}(7)}{n!}\cdot{}(x-7)^n[/mm]
>
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Muss ich den bestimmten Ausdruck, den ich gefunden habe,
> hier --> [mm]\frac{f^{(0)}(7)}{0!}\cdot{}(x-7)^0 \ + \ \sum\limits_{n\ge 1}\frac{f^{(n)}(7)}{n!}\cdot{}(x-7)^n[/mm]
> einsetzen?
Ja.
Aber das geht ganz kompakt:
[mm] $\frac{f^{(0)}(7)}{0!}\cdot{}(x-7)^0 [/mm] =f(7)=ln(5)$
FRED
> Oder verstehe ich es falsch?
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Ist die entgültige Lösung jetzt:
ln|5|+ [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{(n+1)}}{(5)^n * n}\cdot{}(x-7)^n
[/mm]
?
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Hallo nochmal,
> Ist die entgültige Lösung jetzt:
>
> ln|5|+ [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{(n+1)}}{(5)^n * n}\cdot{}(x-7)^n[/mm]?
Oder [mm]\ln(5)-\sum\limits_{n\ge 1}\left(-\frac{1}{5}\right)^n\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}(x-7)^n[/mm]
schachuzipus
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Okay, vielen Dank. Ich habe noch eine andere Frage, muss man "ln | |" oder "ln ( )" schreiben, das bringt mich durcheinander, jeder macht es anders :/
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Hallo Mathemonster!
In Deinem Falle ist ja eindeutig festgelegt durch $x \ > \ 2$ , dass auch gilt: $x-2 \ > \ 0$ .
Damit "darfst" Du hier [mm] $\ln(x-2)$ [/mm] schreiben.
Anderenfalls musst Du halt immer den entsprechenden Definitionsbereich beachten, ob nich gar Betragsstriche zu setzen sind.
Gruß vom
Roadrunner
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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