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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 13.06.2009 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | Es seien zwei voneinander verschiedene Funktionen f und g gegeben, f¨ur die f(0) = 0 und g(0) = 1 gilt, und deren Ableitungen die Gleichungen f' = g und g' = f erfüllen.
1. Entwickeln Sie die Funktionen in Taylorreihen mit dem Nullpunkt als Entwicklungsmitte.
2. Finden Sie Darstellungen von f und von g durch elementare Funktionen,
indem Sie f¨ur f und g jeweils eine Differentialgleichung aufstellen und l¨osen.
3. Berechnen Sie erneut die Tayloreihen von f und g, indem Sie die gewonnenen
Darstellungen durch elementare Funktionen verwenden: Setzen Sie die
Taylorreihen der elementaren Funktionen ein, und fassen Sie Terme zusammen,
als würden Sie mit Polynomen rechnen.
4. Wie werden die Funktionen f und g üblicherweise bezeichnet? |
Hallo,
a)
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(0)}{n!}*x^{n}
[/mm]
da f(0)=0 und g(0)=1 folgt:
[mm] f(x)=0+x+\bruch{1}{3!}x^{3} [/mm] + 0 + [mm] \bruch{1}{5!}*x^{5}+...
[/mm]
könnt ich dafür:
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(2*n+1)}(0)}{(2*n+1)!}*x^{(2*n+1)} [/mm]
[mm] g(x)=1+\bruch{1}{2!}*x²+\bruch{1}{4!}*x^{4}+...
[/mm]
-> [mm] g(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(2*n)}(0)}{(2*n)!}*x^{(2*n)} [/mm]
hoffe ich darf das so schreiben.
b)
f'=g
g'=f
-> f''=f'
-> f'' - f' = 0
Stoppe hier erstmal weil ich mir eig. sicher bin, dass das so nicht zum Ziel führt, mir fällt allerdings nichts besseres ein. Bitte um einen Tipp.
c) wird mit dem Lösen der b kein Problem mehr sein.
d) leigt mir auf der Zunge, weiss ich aber nicht mehr :(
Vielen dank
LG xPae
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Sa 13.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f'=g => f''=g' also f''=f
g'=f => g''=f' also g''=g
Die Loesung davon solltest du eigentlich wissen.
Du hast beim Aufstellen der Dgl nen Fehler gemacht.
Die Taylorreihen sind richtig, aber warum willst du 1 so kompliziert schreiben? Das ist zwar nicht falsch, aber recht irritierend, weil man ja dann [mm] f^{(2n+1)} [/mm] wissen muss. also noch die Def. von f und g dazuschreiben muss.
Wenn dus an der Dgl nicht siehst, such bei den Reihen fuer bekannte fkt. oder adddier und subtrahier die 2 Reihen, spaetestes dann solltest du sie erkennen .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Sa 13.06.2009 | | Autor: | xPae |
> Hallo
Guten Abend,
> f'=g => f''=g' also f''=f
> g'=f => g''=f' also g''=g
> Die Loesung davon solltest du eigentlich wissen.
Ja ich denke mal, dass f(x) = sinx und g(x) = cos x
das würde ja auch mit den Anfangsbedingungen f(0)=0 und g(0)=1 passen. Allerdings nicht mit dem Vorzeichen. Müsste da jetzt noch soetwas, wie [mm] (-1)^{n} [/mm] hin? Aber das ist ja auch iwie Mist.
Oder hab ich mich mal wieder in etwas verrannt?^^
> Die Taylorreihen sind richtig, aber warum willst du 1 so
> kompliziert schreiben? Das ist zwar nicht falsch, aber
> recht irritierend, weil man ja dann [mm]f^{(2n+1)}[/mm] wissen muss.
> also noch die Def. von f und g dazuschreiben muss.
Ok! Stimmt eigentlich.
> Wenn dus an der Dgl nicht siehst, such bei den Reihen fuer
> bekannte fkt. oder adddier und subtrahier die 2 Reihen,
> spaetestes dann solltest du sie erkennen .
> Gruss leduart
Gruss xPae
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 So 14.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast noch nicht die richtigen fkt.
die heissen nur beinahe so und dann noch Hy.....
Oder verwende meinen Rat addiere und subtrahiere die 2 Reihen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 So 14.06.2009 | | Autor: | xPae |
Hi ,
oh natürlich, obwohl ich noch nie im Abi bzw Studium sinh(x) und cosh(x) kennen gelernt habe, hätte es mir wie Schuppen von den Augen fallen sollen.
habe jetzt:
f(x)=sinh(x)
g(x)=cosh(x)
Unter Wiki findet man ja auch sehr schnell die Reihen, die ich unter 1 aufgeschrieben habe, wieder.
Aber müsste ich das nicht laut Aufgabenstellung in etwa so lösen:
f''-f=0
[mm] \lambda²-1=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=1 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
f(x) = [mm] C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-x} [/mm]
mit f(0)=0
[mm] C_{1}+C_{2}= [/mm] 0
g''-g=0
-> g(x) = [mm] C_{3}*e^{x}+C_{4}*e^{-x} [/mm]
[mm] C_{3}+C_{4}=1
[/mm]
Jetzt weiss ich nicht, wie ich auf [mm] C_{1},C_{3},C_{4}=0,5 [/mm] und [mm] C_{2}=-0,5 [/mm] kommen kann. Denn dann wäre das ja cosh(x) und sinh(x)
Von Wiki weiß ich zwar, dass:
f(x)= [mm] C_{1}*sinh(x) [/mm] + [mm] C_{2}*cosh(x) [/mm] ,
die Differentialgleichung f''-f=0 löst, aber wie man darauf kommt wäre noch gut. Also mir ist schon klar, dass wenn man zwei Lösungen für eine DGL hat, dass man dann, die dann addieren kann und es dann immer noch eine Lösung ist.
Kann natürlich auch sein, dass hier jetzt mist erzählt habe.
Zusatz:
hab's glaube:
[mm] f(0)=0=C_{1}+C_{2} [/mm]
f'(x)=g(x)->g(0)=1 = [mm] C_{1}-C_{2} [/mm]
[mm] ->C_{2}=-0,5 [/mm] und [mm] C_{1}=0,5
[/mm]
[mm] g(0)=1=C_{3}+C_{4} [/mm]
[mm] g'(x)=f(x)->f(0)=0=C_{3}-C_{4} [/mm]
-> [mm] C_{3}=C_{4} [/mm]
-> [mm] C_{3},C_{4}= [/mm] 0,5
und ich bin fertig.
Allerdings ist mir jetzt die näüchste Aufgabe nicht sehr klar, soll ich jetzt die Reihen von den E-Funktionen da einsetzten? oder wie soll das passieren?
Danke
Lg xPae
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 So 14.06.2009 | | Autor: | xPae |
Wenn ich die Reihen Addiere bekomme ich doch
f(x)+g(x) = [mm] 1+x+\bruch{1}{2}*x²+\bruch{1}{6}*x³+\bruch{1}{4!}x^{4} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm]
und bei:
f(x)-g(x)= -1 + x - [mm] \bruch{1}{2}*x² [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*x³ [/mm] - [mm] \bruch{1}{4!}x^{4} [/mm] = [mm] -e^{-x} [/mm]
fehtl mir dann nicht immernoch das C=0,5 ..
:/
g(x)-f(x) müsste dann [mm] e^{-x} [/mm] ergeben.
xPae
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 14.06.2009 | | Autor: | xPae |
sorry, dass ich sozusagen "stresse" muss die aufgabe aber morgen vorrechnen und habe es lieber etwas vorher fertig :)
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 14.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 3 Du hast doch richtig durch Loesen der Dgl. mit den Anfangsbed
[mm] f=(e^x-e^{-x})/2 [/mm] und [mm] g=(e^x+e^{-x})/2
[/mm]
(Das mit Diff und Summe war nur, falls du sinh und cosh nicht erkannt haettest)
jetzt sollst du die Taylorreihe der "elementaren" fkt [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] addieren bzw. subtrahieren um zu sehen, dass du das Ergebnis wieder kriegst, was du hattest.(in 1.)
das ist alles.
erst in 4. sollst du sie dann sinh und cosh nennen.
Ziel der ganzen Sache ist wohl dass man sinh bzw cosh, auf 3 Weisen definieren kann:
1. durch f'=g ; g'=f mit den Anfangsbed.
2. durch f''=f mit den Anfbed f(0)=0 f'(0)=1 bzw g(0)=1; g'(0)=0
3. als Summe bzw. Differenz der fkt [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x}
[/mm]
Du sagtest ja, dass dir die Dinger bisher nicht untergekommen sind. Hier hast du jetzt fuer dich und die, die deinen Vortrag hoeren, ne wirklich gute Einfuehrung dazu. Wenn du es so siehst, wird dein Vortrag sicher gut.
Gruss leduart
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